1、等比数列的定义:,称为公比
2、通项公式:
,首项:;公比:
推广:
3、等比中项:
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的,都有为等比数列
(2)等比中项:为等比数列
(3)通项公式:为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义:若或为等比数列
7、等比数列的性质:
(2)对任何,在等比数列中,有。
(3)若,则。特别的,当时,得 注:
(4)数列,为等比数列,则数列,,,,(为非零常数)均为等比数列。
(5)数列为等比数列,每隔项取出一项仍为等比数列
(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7)若为等比数列,则数列,,,成等比数列
(8)若为等比数列,则数列,,成等比数列
(9)①当时,
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等比数列
1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那第这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母表示().即()
2.等比数列的通项公式.
3.等比数列的常用性质:
(1)等比中项:如果在与中间插一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项;在等比数列当中,总有;
(1)若,则,特别地,若,则.
(2)若总有.
(3)若数列是等比数列,则等也是等比数列,其中为非零常数.
(4)数列为等比数列,每隔项取出一项仍为等比数列.
(5)若为等比数列,则数列,,成等比数列.
4.等比数列的判定方法:
(1)定义法:()是等比数列;
(2)等比中项法:是等比数列.
(3)通项公式法:(均是不为0的常数,) 是等比数列.
(4)前项和的公式法:(是不为零的常数,且)是等比数列.
巩回练习
1.在数列中,已知.
(1) 设,求;
(2) 设,求数列的通项公式.
2.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别上2,5,13后成为等比数列的.
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知识梳理:
1、等比数列的定义:,称为公比
2、通项公式:
,首项:;公比:
推广:
3、等比中项:
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的,都有为等比数列
(2)等比中项:为等比数列
(3)通项公式:为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义:若或为等比数列
7、等比数列的性质:
(1)当时
①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数,底数为公比;
②前项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比。
(2)对任何,在等比数列中,有,特别的,当时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3)若,则。特别的,当时,得 注:
(4)数列,为等比数列,则数列,,,,(为非零常数)均为等比数列。
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数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义:(为常数),
等差中项:成等差数列
前项和
性质:是等差数列
(1)若,则
(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若是等差数列,且前项和分别为,则
(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)
的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,
即:当,解不等式组可得达到最大值时的值.
当,由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列,有
,.
(7)项数为奇数的等差数列,有
,
,.
2. 等比数列的定义与性质
定义:(为常数,),.
等比中项:成等比数列,或.
前项和:(要注意!)
性质:是等比数列
(1)若,则
(2)仍为等比数列,公比为.
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等比数列
一、等比数列知识点
1.等比数列的概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q?0)2.等比中项:如果在a与b之间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b也就是,如果是的等比中项,那么
3.等比数列的判定方法:
①定义法:对于数列?an?,若Gb2?,即G?abaGan?1?q(q?0),则数列?an?是等比数列 an
2②等比中项:对于数列?an?,若anan?2?anan?是等比数列 ?1,则数列?
4.等比数列的通项公式:如果等比数列?an?的首项是a1,公比是q,则等比数列的通项为an?a1qn?1an?amqn?5.等比数列的前n项和:
a1(1?qn)a?anq(q?1) ○1Sn?2Sn?1(q?1) ○1?q1?q
3当q?1时,Sn?na1○
当q?1时,前n项和必须具备形式Sn?A(qn?1),(A?0) 6.等比数列的性质:
①等比数列任意两项间的关系:如果an是等比数列的第n项,am是等差数列的第m项,且m?n,公比为q,则有an?amqn?m
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参考答案
例题1、 9n-1
练习1、1、4
2、B [解析] ·()n-1=,∴()n-1==()3∴n=4.
3、A [解析] ∵{an}是等比数列,a1+a2=3,a2+a3=6,∴设等比数列的公比为q,则a2+a3=(a1+a2)q=3q=6,∴q=2. ∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,∴a1=1,
∴a7=a1q6=26=64.
4、A [解析] a4=a1q3=q3=8,∴q=2,∴a5=a4q=16.
5、C [解析] m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)
=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)
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(一)知识归纳:
1.概念与公式:
①等差数列:1°.定义:若数列称等差数列;
2°.通项公式:
3°.前n项和公式:公式:
②等比数列:1°.定义若数列(常数),则称等比数列;2°.通项公式:3°.前n项和公式:当q=1时
2.简单性质:
①首尾项性质:设数列
1°.若是等差数列,则
2°.若是等比数列,则
②中项及性质:
1°.设a,A,b成等差数列,则A称a、b的等差中项,且
2°.设a,G,b成等比数列,则G称a、b的等比中项,且
③设p、q、r、s为正整数,且
1°. 若是等差数列,则
2°. 若是等比数列,则
④顺次n项和性质:
1°.若是公差为d的等差数列,组成公差为n2d的等差数列;
2°. 若是公差为q的等比数列,组成公差为qn的等比数列.(注意:当q=-1,n为偶数时这个结论不成立)
⑤若是等比数列,
则顺次n项的乘积:组成公比这的等比数列.
⑥若是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数,则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和);
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1、等比数列的定义:,称为公比
2、通项公式:
,首项:;公比:
推广:
3、等比中项:
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的,都有为等比数列
(2)等比中项:为等比数列
(3)通项公式:为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义:若或为等比数列
7、等比数列的性质:
(2)对任何,在等比数列中,有。
(3)若,则。特别的,当时,得 注:
(4)数列,为等比数列,则数列,,,,(为非零常数)均为等比数列。
(5)数列为等比数列,每隔项取出一项仍为等比数列
(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(7)若为等比数列,则数列,,,成等比数列
(8)若为等比数列,则数列,,成等比数列
(9)①当时,
…… …… 余下全文