课程星级:★★★★
一、函数的定义、定义域、值域
设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y?f(x),x?A
在函数y?f(x),x?A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)x?A称为函数y?f(x)的值域。
函数的三要素:定义域、值域和对应法则
二、函数的性质
(一)函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D。 如果存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界。 图形特点是y?f(x)的图形在直线y?K1的下方。
如果存在数K2, 使对任一x?X, 有f(x)? K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y?K2的上方。
如果存在正数M, 使对任一x?X, 有| f(x) |?M, 则称函数f(x)在X上有界; 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y? ??M和y ? M的之间。如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界。函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1?X, 使| f(x) | > M。
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高中函数图像性质总结
一、指数函数
1、指数函数的图象和性质
2、第一象限:底数越大,图像越高à
二、
1、对数函数的图象和性质
2、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴;
当0<a<1时,a越大,图像越远离x轴。
三、幂函数性质
1、所有的幂函数图象都过点(1,1)。除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.;
注:当α>0时过定点(0,0)和(1,1);
当α<0时过定点(1,1)
2、α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数
3、α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
4、任何两个幂函数最多有三个公共点
5、图像性质:
在第一象限幂函数图像表现为:
α>0时,α越大,图像越陡;
α<0时,α越大,图像越靠近y轴远离x轴。
四、一元二次函数:
1、图像和性质
2、一元二次函数表达式形式:
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k,定点坐标(h,k)
分解式:f(x)=a(x-x1)(x-x2), 一元二次方程的两根为x1,x2
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高中函数图像性质总结
一、指数函数y?ax(a?0且a?1)
二、y?logax α>0且α≠1 1、对数函数的图象和性质
2、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴; 当0<a<1时,a越大,图像越远离x轴。 三、幂函数性质
1、所有的幂函数图象都过点(1,1)。除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.;
注:当α>0时过定点(0,0)和(1,1);
当α<0时过定点(1,1)
2、α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 3、α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 4、任何两个幂函数最多有三个公共点 5、图像性质:
在第一象限幂函数图像表现为:
α>0时,α越大,图像越陡;
α<0时,α越大,图像越靠近y轴远离x轴。
四、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0): 1、图像和性质
2顶点式:f(x)=a(x-h)2+k,定点坐标(h,k)
分解式:f(x)=a(x-x1)(x-x2), 一元二次方程的两根为x1,x2 一般式:f(x)=ax2+bx+c,(a≠0).
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一、函数图像知识点汇总
1.函数图象的变换
(1)平移变换
①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
(2)对称变换
①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
由对称变换可利用y=f(x)的图象得到y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象.
①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象;
②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.
(3)伸缩变换
①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1时)或缩(a<1时)到原来的a倍,横坐标不变.
②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的倍,纵坐标不变.
(4)翻折变换
①作为y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|f(x)|的图象;
②作为y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f(|x|)的图象.
2.等价变换
可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1)写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图.
3.描点法作图
方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
注意:
一条主线
数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点.作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置.
两个区别
(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称.
(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系.
三种途径
明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径.
(1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换.
(2)函数解析式的等价变换.
(3)研究函数的性质.
二、例题解析
三、复习指导
函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻
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一次函数
一、定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx (k为常数,k≠0)
二、一次函数的性质:
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
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二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
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三角函数图象与性质复习题
要求:1、能正确画出,,的图象
2、给定条件,能够求,,的定义域、值域、单调区间;
3、给定条件,能够求中的。
4、掌握正弦余弦函数图象平移法则,区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。
5、结合图象,会求诸如的取值范围。
6、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。如,
常考题型:
1、的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间是 、单调递减区间是 ;振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由变化而来。
2、求的单调递减区间。
3、比较大小 j; k
4、求的最大值、最小值及对应的x的取值范围。
5、求的最值及对应的x的取值。
6、若的最大值是,最小值是,求的值。
7、为了得到的图象,只须将的图象向 平移 个单位。
8、定义在R的函数,对任意都有。(1)证明是周期函数。(2)若,求。
9、若,在其一个周期内的图象上有一个最高点 和一个最低点,求这个函数的解析式。
10、求的值域
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