1.数列的概念
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为 的项叫第项(也叫通项)记作;
数列的一般形式:,,,……,,……,简记作 。
例:判断下列各组元素能否构成数列
(1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;
(2)20##年各省参加高考的考生人数。
(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,…
②:…
数列①的通项公式是= (7,),
数列②的通项公式是= ()。
说明:
①表示数列,表示数列中的第项,= 表示数列的通项公式;
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,= =;
③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,……
(3)数列的函数特征与图象表示:
序号:1 2 3 4 5 6
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题型1 已知数列前几项求通项公式
1.数列的通项 .
2.数列的通项 .
3.数列的通项 .
4. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
5. 观察下面数列的特点,写出每个数列的一个通项公式:
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高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
B)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、已知为等差数列的前项和,,则 .
5、在正项等比数列中,,则_______。
6、已知为等比数列前项和,,,则 .
7、在等差数列中,若,则的值为( )
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一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和
例1(07高考山东文18)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且构成等差数列.
(1)求数列的等差数列.
(2)令求数列的前项和.
练习:设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
二、错位相减法
例2(07高考天津理21)在数列中,,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和;
.
例3(07高考全国Ⅱ文21)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
三、逆序相加法
例4(07豫南五市二联理22.)设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2),若,且点P的横坐标为.
(I)求证:P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(II)若
四、裂项求和法
例5 求数列的前n项和.
例6(06高考湖北卷理17)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
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数列常见题型分析与做法
一、等差、等比数列的概念与性质
1、已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且,求;
(I)依题意
二、求数列的通项
类型1
解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列满足,,求 答案:
类型2
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列满足,,求 答案:
类型3 (其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列中,,,求.
提示: 答案:.
类型4 递推公式为与的关系式。(或)
解法:这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。
例:已知数列前n项和. (1)求与的关系;(2)求通项公式.
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高中数学复习系列---数列(常见、常考题型总结)
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
B)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=( )
5、已知为等差数列的前项和,,则 .
6、在正项等比数列中,,则_______。
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高考数列常考题型归纳总结
类型1 an?1?an?f(n)
解法:把原递推公式转化为an?1?an?f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列?an?满足a1?解:由条件知:an?1?an?
12
,an?1?an?1
?
1
1n?n
2
,求an。 ?
1n?1
n?n
2
n(n?1)
?
1n
分别令n?1,2,3,??????,(n?1),代入上式得(n?1)个等式累加之,即
(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1) ?(1?
12)?(
12?13)?(1n
13?14
)????????(
1n?1
?1n)
所以an?a1?1?
?a1?
12
12?1?
1n?32?1n
,?an?
类型2 an?1?f(n)an 解法:把原递推公式转化为
23
an?1an
?f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。
nn?1
例:已知数列?an?满足a1?解:由条件知之,即
a2a1
?a3a2
?a4a323
,an?1?an,求an。
an?1an
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--数列(常见、常考题型总结)
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
B)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=( )
5、已知为等差数列的前项和,,则 .
6、在正项等比数列中,,则_______。
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