第四章  一元函数的积分及其应用            

第一节  不定积分

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数

定义2.函数的全体原函数叫做的不定积分，，记为:

其中   叫做被积函数  叫做被积表达式   叫做积分常数

“”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

        .

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即 

        

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

        .

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1.二重积分   形式：    f(x,y)为面密度，dxdy为面积元素。           

解法：①直角坐标  首先是化为X型或Y型区域，如化为X型的则可写成=

②极坐标（使用范围：D为圆或圆的一部分，f(x,y)中含有+项）极坐标下二重积分可化为：

=

2.三重积分   形式：    f(x,y,z)表示点（x,y,z）处的密度，dv表示体积元素

解法：①直角坐标   如往xoy面投影，Dxy为X型区域，y的范围由平行于y轴的直线穿过Dxy，穿入的是下限，穿出的上限；z的范围沿平行于z轴的直线穿过立体，穿入的下限，穿出的上限，则有：=；

②柱面坐标（范围：投影区域为圆或圆的一部分，f（x，y，z）中含有+项）   直角坐标与极坐标的关系：x= y=  z=z。    ==

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积分方法大盘点

现把我们学了的积分方法做个大总结。

1、二重积分

1.1 X型区域上二重积分（必须的基本方法）

（1）后x先y积分，D往x轴上的投影得区间[a,b]；

（2）"x [a,b]，X=x截D得截线y1(x)＃yy2(x)（小y边界y=y1(x)大y边界y=y2(x)）；

（3）by(x)蝌f(x,y)dxdy=蝌dx2f(x,y)dyay

D1(x)

1.2 Y型区域上二重积分（必须的基本方法）

（1）后y先x积分，D往y轴上的投影得区间[c,d]；

（2）"y [c,d]，Y=y截D得截线x1(y)＃xx2(y)（小x边界x=x1(y)大x边界x=x2(y)）；

（3）dx蝌f(x,y)dxdy=蝌dy2(y)f(x,y)dxcx

D1(y)

1.2 极坐标二重积分（为简单的方法）

（1）总是后q先r积分；

（2）br蝌f(x,y)ds=蝌dq2(q)f(rcosq,rsinq)rdr

ar(q)

D1

其中，在D上a是最小的q，b是最大的q；"q [a,b]，射线Q=q截D得截线r1(q)＃rr2(q)（小r边界r=r1(q)大r边界r=r2(q)）。用坐标关系x=rcosq，y=rsinq和面积元素ds=dxdy=rdqdr代入（多一个因子r）。

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导数

微分学

微分

微积分

不定积分

积分学   

定积分

无穷级数

第一章函数及其特性

1.1  集合

一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。

二、表达方式： 集合A，B，C……（大写字母）

元素a，b，c……（小写字母）

A=｛a，b，c｝

元素的排列无重复，无顺序。

a属于A记作aA，1不属于A记作1A或1A

三、分类    有限集

无限集

空集Ф

四、集合的运算

1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，AB或BA（空集是任何集合的子集）。

2、交集： 存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。AB，ABA，ABB，ФB=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。AB，ABA，ABB，ФB=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且AB，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。记作A_B或， A_BA=Ф， A_B A=B

五、数、数轴、区间、邻域

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高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一x?I,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。

定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作

?f(x)dx。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则

?kf(x)dx?k?f(x)dx。

2、换元积分法

(1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，???(x)可导，则有换元公式

?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??

?(x)。

例：求?2cos2xdx

解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 将??2x代入，既得

?2cos2xdx?sin2x?C

(2)第二类换元法：

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考研数学：高数重要公式总结（定积分）

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定积分的近似计算：　定积分应用相关公式：

 

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考研数学：高数重要公式总结（基本积分表）

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