第三章 导数及其应用
3.1.2导数的概念(要求熟悉)
1.函数在处的导数:函数在处的瞬时变化率称为在处的导数,记作或,即。
3.1.3导数的几何意义(要求掌握)
1.导数的几何意义:函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率,
即;
2.求切线方程的步骤:(注:已知点在已知曲线上)
①求导函数;②求切线的斜率;③代入直线的点斜式方程:,并整理。
3.求切点坐标的步骤:①设切点坐标;②求导函数;③求切线的斜率;④由斜率间的关系列出关于的方程,解方程求;⑤点在曲线上,将代入求,得切点坐标。
3.2导数的计算(要求掌握)
1. 基本初等函数的导数公式:①;②;③;④;
⑤;⑥;⑦;⑧.
2.导数运算法则:① ;②;
③;④
3.3.1函数的单调性与导数
(1)在区间内,>0,f(x)为单调递增;<0,f(x)为单调递减。
(2)用导数求函数单调区间的三个步骤:①确定函数的定义域;②求函数f(x)的导数;③令解不等式,得x的范围就是递增区间;④令解不等式,得x的范围就是递减区间。
(3)用导数判断或证明函数的单调性的步骤:①求函数f(x)的导数;②判断的符号;③给出单调性结论。
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题型一:求函数的导数
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
(9) (10) (11) (12)
题型二:求函数在某点处的导数
(1)求在处的导数; (2)求在处的导数;
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高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数在处的瞬时变化率是,
我们称它为函数在处的导数,记作或,
即=
2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时,直线与曲线相切。容易知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导数就是切线PT的斜率k,即
3. 导函数:当x变化时,便是x的一个函数,我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即
二.导数的计算
1)基本初等函数的导数公式:
2 若,则;
3 若,则
4 若,则;
5 若,则
6 若,则
7 若,则
8 若,则
2)导数的运算法则
2.
3.
3)复合函数求导
和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下'关系:
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§14. 导数 知识要点
1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
注:①是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零.
②以知函数定义域为,的定义域为,则与关系为.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系:
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.
事实上,令,则相当于.
于是
⑵如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.
例:在点处连续,但在点处不可导,因为,当>0时,;当<0时,,故不存在.
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
4. 求导数的四则运算法则:
(为常数)
注:①必须是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
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导数
考试内容:
导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.
考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.
§14. 导数 知识要点
1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
注:①是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零.
②以知函数定义域为,的定义域为,则与关系为.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系:
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.
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导数 知识要点
1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
注:①是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零.
②已知函数定义域为,的定义域为,则与关系为.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系:
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.
事实上,令,则相当于.
于是
⑵如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.
例:在点处连续,但在点处不可导,因为,当>0时,;当<0时,,故不存在.
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
4、几种常见的函数导数:
(为常数) ()
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导数的应用、复数
1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导,若>0,则在上递增;若<0,则在上递减. 注意:为正(负)是函数递增(减)充分不必要条件。如果函数f(x)在区间(a,b)内可导且不是常函数,上述结论可以改进为:f(x)在区间(a,b)上单调递增≥0在(a,b)上恒成立;f(x)在区间(a,b)上单调递减≤0在(a,b)上恒成立
[举例1]已知函数若在是增函数,求实数的范围。
解析:≥0在上恒成立在上恒成立
而在上的最小值为16,故。
[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导,且其导函数[f/(x)]/<0,
则y=f(x)的图象可能是下图中的 ( C )
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高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单
1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。
即f(x)==。
说明:
(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤(可由学生来归纳):
(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f’(x)=。
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
3.几种常见函数的导数:
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