关于幂函数的性质知识点总结

定义:

形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质:

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

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幂函数及其性质

相关知识点：

1.幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．

2.幂函数的性质

(1). 恒过点(1，1)，且不过第四象限．

(2). 当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上都是减函数．

( 3). 在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．

(4).当为偶数，当为奇数，

基础训练：

1. 下列函数是幂函数的是(　　)

A．y＝5^x　　       　B．y＝x⁵                       C．y＝5x                 D．y＝(x＋1)³

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                   幂函数知识点总结

一幂函数的概念

  １．函数叫做幂函数，其中ｘ是自变量

　２．图象与行政

（１） n＞0时，过定点（0，0）和（1，1）,在上单调递增。

       （２）n＜0时，过定点（1，1）,在上单调递减。

　　　　　　　　　　基本初等函数测试题

一选择题

　１．下列各式正确的是(　　)

A. ＝－3   B.＝a   C.＝2    D．a⁰＝1

　２．＋的值是(　　)

A．0     B．2(a－b)    C．0或2(a－b)    D．a－b

３．设，则a,b,c大小关系（    ）

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幂  函  数  复  习

一、幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？

【思考·提示】　本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．

观察图：

归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：

二、幂函数的性质

归纳：幂函数在第一象限的性质：

，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（）上单调递增。

，图像过定点（1,1），在区间（）上单调递减。

探究：整数m,n的奇偶与幂函数的定义域以及奇偶性有什么关系？

结果：形如的幂函数的奇偶性

  （1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；

  （2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；

  （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.

三、幂函数的图像画法：

关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；

指数等于1,在第一象限为上升的射线；

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幂函数

（1）幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

 

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．  

②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

幂函数练习题

一、选择题：

 1．下列函数中既是偶函数又是       （    ）

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〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．

②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．

③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．  注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①            ②

③

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

    ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

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郎玮婷

指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。

?a(a?0)当n当n an?|a|??an?a，??a(a?0)

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)

a?m

nmn?1

m

n?1a

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

rrr?s（1）a〃a?a (a?0,r,s?R)；

rsrs(a)?a（2） (a?0,r,s?R)； am(a?0,m,n?N*,n?1)

(a?0,r,s?R)． （3）(ab)?aa

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

rrs

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

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高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2

整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N．

*

n

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作?0。 当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，nan?|a|??2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

?a(a?0)

??a(a?0)

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a

?mn

mn

，

?

1a

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?R). (2)(ar)s?ars(a?0,r,s?R).(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R). （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

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