不定积分

一、原函数

定义1  如果对任一，都有

                或

则称为在区间I 上的原函数。

例如：，即是的原函数。

      ，即是的原函数。

原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。

注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。

设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。

注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即（C为常数）

注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2  在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。

如果为的一个原函数，则

            ，（为任意常数）

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不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：

【解】

例2：

【解】

3.第二类换元法：

设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

  （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

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定积分计算的总结

闫佳丽

摘  要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.

关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.

1前言

17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.

2正文

那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数在有定义，任给一个分法T和一组，有积分和，若当时，积分和存在有限极限，设，且数与分法T无关，也与在的取法无关，即有，则称函数在可积，是函数在的定积分，记为.其中，a与b分别是定积分的下限与上限；是被积函数；是被积表达式；x是积分变量.若当时，积分和不存在极限，则称函数在不可积.定积分的几何意义也就是表示x轴，，与围成的曲边梯形的面积.

但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：

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不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法

    不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。

1 换元积分法

    换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

1.当出现，形式时，一般使用，，三种代换形式。

2.当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。

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不定积分解题方法总结

    不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。

1 换元积分法

    换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

1.当出现，形式时，一般使用，，三种代换形式。

2.当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。

使用万能代换，

    对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。

2 不定积分中三角函数的处理

    不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。

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考研数学：高数重要公式总结（定积分）

　　考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。

定积分的近似计算：　定积分应用相关公式：

 

　　　其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!

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