勾股定理全章知识点及典型题归类
一.基础知识点: 1:勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释:
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边(在?ABC中,?C?90?
,
则c?
,b?
,a?
)
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边
(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释:
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2
,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形)。 (定理中a,b,c及a2?b2?c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2?c2?b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边)
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《勾股定理分类练习》
题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b分别为直角边,c为斜边,那么直角三角形三边的关系为 a2 +b2 =c2
注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边
1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是
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第18章 勾股定理复习
一.知识归纳
1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:,,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三:,,化简得证
3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
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第一章 勾股定理复习
一.知识归纳
1.勾股定理的内容及由来
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见证明方法如下:
方法一:
,,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三:
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勾股定理做题方法总结
一、求边长类题目。
1、牢记勾股定理公式,并记住几组够股数,知道够股数同时乘以或者除以一个数,够股数仍然成立,填空选择题可以直接通过这个定理写出答案。
2、当遇到跟“底、高”有关的题目时,联想到三角形面积公式:(低×高)÷2
3、选题题、填空题要求求第三条边时,一定要看清楚已知的两条边是不是直角边,若题目中没有说明,一定要考虑多种可能性。
4、学会画简图,并且能够准确的在图上标出已知数据。
5、做辅助线的时候,切记不要将已知的直角分割,尽量保留已知角。
6、题目中出现30度、60度角时马上联想到30度角对应的直角边等于斜边的一半。
7、遇到45度角的时候,马上想到两条直角边相等
二、求面积、周长类题目。
1、知道两条直角边相乘再÷2就可以求出RT三角形的面积。
2、牢记圆的面积公式和周长公式。
3、在做比较难的题目时,一定要将题目中所有已知数据的关系式列出来(经常用到勾股定理公式、面积公式、周长公式……)
4、了解等边三角形、等腰三角形的一些特性,比如角平分线同时也是高,同时也是底边中线。
5、要学会设x,因为x除了表示自身外还要用来表示其他边,所以x设的越简练越容易计算越好。
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第18章 勾股定理复习
一.知识归纳
1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:,,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三:,,化简得证
3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
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勾股定理
一.知识归纳
1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:,,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三:,,化简得证
3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
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北师版八年级数学第1章 勾股定理
一.知识归纳
1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为,,斜边为,那么
勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
方法一:,,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三:,,化简得证
3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
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