2.向量的概念
(1)向量的基本概念
①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度,叫做向量的模。
②特定大小或特定关系的向量
零向量,单位向量,共线向量(平行向量),相等向量,相反向量。
③表示法:几何法:画有向线段表示,记为或α。
④在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底,则平面内作一向量=x+y,记作:=(x, y) 称作向量的坐标.
=(x2-x1,y2-y1),其中A(x1,y1),B(x2,y2)
(2)向量的运算
①向量的加法与减法:定义与法则(如图5-1):
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
运算律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。
②向量的数乘(实数与向量的积)定义与法则(如图5-2):
λa=λ(x,y)=(λx, λy)
(1)︱︱=︱︱·︱︱;
(2) 当>0时,与的方向相同;当<0时,与的方向相反;
当=0时,=0.
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第三章 空间向量 总结
空间向量定义及运算 直角坐标运算
概念: 向量
模 _________________________________________________
基线
零向量
相等向量
相反向量
共线向量 ________________________________________________
运算: 加法 ________________________________________________
减法 ________________________________________________
数乘向量 ________________________________________________
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数学中,我们把这种既有大小,又有方向的量叫做向量(vector).而把那些只有大小,
没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等),称为数量。
对于向量,我们常用带箭头的线段来表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向。带有方向的线段叫做有向线段。
已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作∣∣。有向线段包含三个要素:起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定。
向量可以用有向线段表示。向量的大小,也就是向量的长度( 或称模),记作∣∣
长度为0的向量叫做零向量(zero vector),记作0。
长度等于1个单位的向量向,叫做单位向量( unit vector)。
向量也可用字母a,b,c,…表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如,
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(parallel vectors),
如图就是用有向线段表示的两个平行向量 a 、b。向量a 、b平行,通常记作a ∥ b.
a 我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意向量 a ,都有 0∥a.
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空间向量的应用
一.基本概念
1.(1)用空间向量处理“平行”问题
设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
线线平行∥∥; 线面平行∥;
面面平行∥∥
(2)用空间向量处理“垂直”问题
设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
线线垂直⊥∥;
线面垂直⊥⊥,⊥(是两条相交的直线);
线面垂直⊥∥; 面面垂直 ⊥⊥
(3)设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
异面直线所成角:
直线与平面所成角:
两个平面的夹角(平面的法向量分别为):
(4)异面直线间的距离的向量求法:已知异面直线l1、l2,AB为其公垂线段,C、D分别为l1、l2上的任意一点,为与共线的向量,则||=.
(5)设平面α的一个法向量为,点P是平面α外一点,且Po∈α,则点P到平面α的距离是d=.
2.当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
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数学基础知识与典型例题
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专题四:平面向量
【疑难点拨】
1.与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量,数量是只有大小的量(称标量),而向量既有大小又有方向;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小.记号“>”错了,而||>||才有意义.
⑵有些向量与起点有关,有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性(力和方向),故我们只研究与起点无关的向量(既自由向量).当遇到与起点有关向量时,可平移向量.
⑶平行向量(既共线向量)不一定相等,但相等向量一定是平行向量,既向量平行是向量相等的必要条件.
⑷单位向量是模为1的向量,其坐标表示为(),其中、满足 =1(可用(cos,sin)(0≤≤2π)表示).求单位向量方法是向量本身除以自身的模;
⑸零向量的长度为0,是有方向的,并且方向是任意的,实数0仅仅是一个无方向的实数.
⑹有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段.
2.与向量运算有关的问题
⑴向量与向量相加,其和仍是一个向量.
①当两个向量和不共线时,的方向与、都不相同,且||<||+||;
②当两个向量和共线且同向时,、、的方向都相同,且;
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高考向量考点总结
1.向量的概念
(1)向量的基本概念
①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度,叫做向量的模。 ②特定大小或特定关系的向量
零向量,单位向量,共线向量(平行向量),相等向量,相反向量。 ③表示法:几何法:画有向线段表示,记为AB或α。
④在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底,则平面内作一向量a=xi+yj,记作:a=(x, y) 称作向量a的坐标.
AB=(x2-x1,y2-y1),其中A(x1,y1),B(x2,y2)
(2)向量的运算
①向量的加法与减法:定义与法则(如图5-1):
???
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。
运算律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。
②向量的数乘(实数与向量的积)定义与法则(如
图5-2):
λa=λ(x,y)=(λx, λy)
(1)︱?a︱=︱?︱·︱a︱;
(2) 当?>0时,?a与a的方向相同;当?<0
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平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意:不能说向量就是有向线段,为什么? 提示:向量可以平移.
举例1 已知,,则把向量按向量平移后得到的向量是_____. 结果:
2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,规定:零向量的方向是任意的;
3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,
规定:零向量和任何向量平行.
注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有);
④三点共线共线.
6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.
举例2 如下列命题:(1)若,则.
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