初三数学知识整理与重点难点总结

第21章 二次根式

知识框图

　　

理解并掌握下列结论：

（1）是非负数；　（2）；　（3）；

I.二次根式的定义和概念：

　　1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
　　2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。

II.二次根式√ā的简单性质和几何意义

　1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
　　2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
　　3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。

　IV.二次根式的乘法和除法

　　1 运算法则
　　√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
　　√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）
　　二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
　　2 共轭因式
　　如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。

V.二次根式的加法和减法

　　1 同类二次根式
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
　　2 合并同类二次根式
　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
　　3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并

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第23章 旋转知识点总结

一、旋转    

    1、定义

把一个图形绕某一点O转动一个角度的                叫做旋转，其中O叫做               ，                 叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到                     的距离相等。

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【人教版】初中数学九年级知识点总结：23旋转

【编者按】本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。

一.知识框架

二．知识概念

1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）

2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

3．中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．

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旋转

【知识脉络】

  

【基础知识】 

Ⅰ. 旋转 

1．定义

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的

角叫做旋转角。

2．性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

   

Ⅱ. 中心对称

1．定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和另外一个图形重合，

   那么这两个图形关于这个中心对称，这个点就是它们的对称中心。

2．性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3．判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一

点对称。

4．中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么

这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

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10月18日 周日

一、第二十三章（旋转）知识点的巩固

概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

1、旋转两（三）要素：旋转中心、旋转角（旋转方向）

2、旋转的性质：

(1) 旋转前后的两个图形是全等形

(2) 两个对应点到旋转中心的距离相等

(3) 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角

3、中心对称：

旋转角→180°

旋转中心→对称中心

对应点→对称中心

4、中心对称的性质：

(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.

(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.

5、中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

6、坐标的对称问题

①关于原点对称的点的坐标（坐标的中心对称） 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P(x，y)关于原点O的对称点P′(-x，-y). ②关于x轴对称P(x，y)→P′(x，-y) ③关于y轴对称P(x，

y)→P′(-x，y)

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旋转知识点归纳

知识点1:旋转的定义及其有关概念

在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转,点O就是旋转中心,都是旋转角.

说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个：

★一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.

典例剖析

例1如图1，是等腰内一点，是斜边，如果将绕点逆时针方向旋转到的位置，则的度数是（Ｄ　　）

Ａ．               Ｂ．                    

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初三知识整理

    

全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的"数与代数""空间与图形""统计与概率""实践与综合应用"四个领域的内容

在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合

使它们形成一个有机的整体

    

九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容

学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域

包含以下章节：

　　第21章 二次根式                          第22章 一元二次方程                                          

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初三数学知识整理与重点难点总结

第21章 二次根式

知识框图

　　

理解并掌握下列结论：

（1）是非负数；　（2）；　（3）；

I.二次根式的定义和概念：

　　1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
　　2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。

II.二次根式√ā的简单性质和几何意义

　1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
　　2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
　　3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。

　IV.二次根式的乘法和除法

　　1 运算法则
　　√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
　　√a/b=√a /√b（a≥0，b>0）
　　二数二次根之积，等于二数之积的二次根。
　　2 共轭因式
　　如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。

V.二次根式的加法和减法

　　1 同类二次根式
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
　　2 合并同类二次根式
　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
　　3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并

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