20xx年X1 特征值，特征向量，线性无关

X2 伴随矩阵，初等变换（初等矩阵）

T1 矩阵行列式，运用矩阵乘法公式 B=AX，则{B}={A}{X}

F1（1）已知二次型的秩，求参数A。

（2）运用正交变换，化为标准形（求特征值，特征向量，构造正交矩阵）

（3）求方程的解（可用配方法）

F2 已知ＡＢ＝Ｏ，讨论ＡＸ＝Ｏ的通解（ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ，Ｂ的列向量

为ＡＸ＝Ｏ的通解）。

20xx年X1 线性无关 线性相关

X2 矩阵变换的初等矩阵表示（左行右列），矩阵的等价性

T1 矩阵的行列式ＢＡ＝B+2E，已知A，求B

F1 （1） 线性方程组系数中含有参数，验证秩为2.

（2）求解参数以及方程组的解。

F2 实对称矩阵，求解特征值，特征向量。构造正交矩阵Q进行对角化。

20xx年X1 已知线性无关，验证线性相关。

X2 合同，相似的条件。（实对称矩阵A和B相似，则A和B合同）

T1 已知A，求A的三次方构成的矩阵的秩。

F1 已知两个方程组有公共解，求参数a和所有公共解。

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1.     注意矩阵之间常见的几种关系：

（1）       可交换

（2）       等价

（3）       相似

（4）       合同

其中，等价与相似的符号都是“～”，但他们含义不同，需注意。

另外，（2）（3）（4）都具有反身性，对称性和传递性。

                  

2.     注意常见的几种矩阵：

（1）       对称矩阵与反对称矩阵

（2）       非奇异矩阵与奇异矩阵

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《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、行列式的展开定理(定理2.2，2.3，2.4)

       按行展开：

按列展开：

定理2.4  ；

.

3、行列式的性质

       (1) 拆性

(2) 若行列式有两行(列)成比例，则行列式等于零.

(3) 初等变换性质

4、行列式计算：三角化法，降阶法(性质+展开定理)，递推(归纳)，范德蒙德、三对角

5、分块矩阵的行列式

二、矩阵

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)

(1) 乘法的结合律

(2) 方阵的幂的求解 

(3) 转置的性质：

(4) 方阵的行列式： 

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)

2、初等变换及初等矩阵

左行右列      

3、可逆矩阵

(1) 定义、性质

(2) 伴随矩阵

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《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)

       按行展开：

按列展开：

定理2.4  ；

.

3、行列式的性质

       (1) .

       (2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即

.

(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.

(3) 初等变换性质

4、行列式计算：三角化法(性质)；

降阶法(性质+展开定理)；

范德蒙德、三对角行列式的结论.

5、分块矩阵的行列式

二、矩阵

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)

(1) 乘法的结合律

(2) 方阵的幂的求解 

(3) 转置的性质：

(4) 方阵的行列式： 

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)

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线性代数公式总结

行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

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线性代数知识点总结

第一章            行列式

第一节：二阶与三阶行列式

把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，

即结果为一个数。（课本P1）

同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。

即=

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组

设

则，（课本P2）

对三元方程组，

设，

，，，

则，，。（课本上没有）

注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用P_n (或A_n)表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）

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《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

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线性代数总结

在学习线性代数之前就有几个老师说过线性代数并不比高数简单，我就这样半信半疑的开启了学习这门课的旅程。

在这本书的第一章中，我们主要学了以下几点：

一、    利用对角线法则计算二阶和三阶行列式。

二、    n阶行列式的定义及性质。

三、    代数余子式的定义及性质。

四、    计算简单的n阶行列式的方法和克拉默法则。

     在这第一章中还有一些细节值得我们注意：

1、         行列式展开的每项均由不同行不同列的元素组成。

2、         进行列式的初等变换时r_i+r_j与r_j+r_i的区别。

3、         特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。

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