数学圆锥曲线总结

1、圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于

距离的差的绝对值等于常数对值”与时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

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圆锥曲线应用

一、圆锥曲线的最值问题

方法1：定义转化法

例1、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

方法2：数形结合（切线法）

例2、求椭圆＋y²＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．

方法3：参数法（函数法）

例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y²＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．

方法4：基本不等式法

例4、求椭圆＋y²＝1内接矩形ABCD面积的最大值．

二、圆锥曲线的范围问题

方法1：曲线几何性质法

例1、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|＝4|PF₂|，则此双曲线中的取值范围是________．

方法2：判别式法

例2、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y²＝1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．

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圆锥曲线的概念与性质

一、椭圆中的结论

1.椭圆的参数方程为

2.点和椭圆的关系：

（1） 

（2）

（3）

3．焦半径：椭圆上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作

  （1）      

  （2）      

4.焦点三角形：椭圆上的点称作焦点三角形..

   （1），当时，即为短轴的端点时，

  （2）   当，即为短轴的端点时，

5.焦点弦（过焦点的弦）：的焦点弦，，

，弦的中点，则弦长（左焦点弦取“+”，右焦点弦取“—”），通径最短，

二、双曲线中的结论

1.（1）等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。

  （2）等轴双曲线

2.双曲线的共轭双曲线的方程，它们有共同的渐近线为，它们的离心率满足的关系式为

3.点和双曲线的关系：

（1） 

（2）

（3）

4.焦半径：双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作

（1） 若在右支上     

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圆锥曲线与方程

课    题：小结与复习

教学目的：

1.       椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法；          双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线；抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法，

2.  结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 

教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.

教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.

授课类型：复习课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、课前预习

二、复习引入：

抛物线：

三、章节知识点回顾：

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

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椭圆 必背的经典结论

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

椭   圆

1.         点P处的切线PT平分△PF₁F₂在点P处的外角.

2.         PT平分△PF₁F₂在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.         以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.         以焦点半径PF₁为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.         若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.         若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P₁、P₂，则切点弦P₁P₂的直线方程是.

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高中数学知识点大全—圆锥曲线

一、考点（限考）概要：
    1、椭圆：
      （1）轨迹定义：
           ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：；
           ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
              用集合表示为：；
     （2）标准方程和性质：

         

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椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质：

双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质：

抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质：

圆锥曲线的统一定义：

若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。

当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。

1.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：

（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；

（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

2、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

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