不等式题型总结
典题精讲
例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;
(2)求函数y=x+的值域.
思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.
(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.
∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.
解法二:∵0<x<,∴-x>0.
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.
∴x=时,函数取得最大值.
(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.
当x<0时,y=x+=-[(-x)+].
∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.
∴y=x+≤-2.
综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.
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集合与函数知识点讲解
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质:
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
补充:数轴标根法解不等式
5. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
6 . 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
7. 求函数的定义域有哪些常见类型?
8. 如何求复合函数的定义域?
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高中数学复习系列---数列(常见、常考题型总结)
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列)
A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知为等差数列的前项和,,求;
2、等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
3、设是公比为正数的等比数列,若,求数列前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为,中间两数之和为,求这四个数.
B)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知为等差数列的前项和,,则 ;
2、设、分别是等差数列、的前项和,,则 .
3、设是等差数列的前n项和,若( )
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=( )
5、已知为等差数列的前项和,,则 .
6、在正项等比数列中,,则_______。
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1.集合基本运算,数轴应用
已知全集,则集合
A. B. C. D.
2.集合基本运算,二次函数应用
已知集合,则( )
A. B. C.. D.
3.集合基本运算,绝对值运算,指数运算
设集合,则( )
A. B. C. D.
4.集合基本性质,分类讨论法
已知集合A= ,且-3 A,求a的值
5.集合基本性质,数组,子集数量公式
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排列组合
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有
m种不同的方法,…,在第n类办法中有mn不同的方法.
2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2
种不同的方法,…,做第n步有mn 3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
113
解: 由分步计数原理得C4C3A4?288
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?
二.相邻元素捆绑策略
例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
522
解: AAA?480
练习题:某人射击8枪,命中4枪,
4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
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集合与函数知识点讲解
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质:
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
的取值范围。
补充:数轴标根法解不等式
5. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
6 . 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
7. 求函数的定义域有哪些常见类型?
8. 如何求复合函数的定义域?
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参考答案
例题1、 9n-1
练习1、1、4
2、B [解析] ·()n-1=,∴()n-1==()3∴n=4.
3、A [解析] ∵{an}是等比数列,a1+a2=3,a2+a3=6,∴设等比数列的公比为q,则a2+a3=(a1+a2)q=3q=6,∴q=2. ∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,∴a1=1,
∴a7=a1q6=26=64.
4、A [解析] a4=a1q3=q3=8,∴q=2,∴a5=a4q=16.
5、C [解析] m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)
=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)
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基本不等式
典题精讲
例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;
(2)求函数y=x+的值域.
思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.
(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.
∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.
解法二:∵0<x<,∴-x>0.
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.
∴x=时,函数取得最大值.
(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.
当x<0时,y=x+=-[(-x)+].
∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.
∴y=x+≤-2.
综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.
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