第一章 复数的运算与复平面上的拓扑
1.复数的定义
一对有序实数(x,y)构成复数,其中.,
X称为复数的实部,y称为复数的虚部。
复数的表示方法
1)模:;
2)幅角:在时,矢量与轴正向的夹角,记为(多值函数);主值是位于中的幅角。
3)与之间的关系如下:
当;
当
4)三角表示:,其中;注:中间一定是“+”
5)指数表示:,其中
2.复数的四则运算
1).加减法:若,则
2).乘除法:
3)若,则
;
。
4)若, 则;
5.无穷远点得扩充与扩充复平面
复平面对内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而N点本身可代表无穷远点, 记作¥.这样的球面称作复球面
这样的球面称作复球面.
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞
复平面的开集与闭集
复平面中领域,内点,外点,边界点,聚点,闭集等概念
复数序列的极限和复数域的完备性
复数的极限,,柯西收敛定理,魏尔斯特拉斯定理,聚点定理等从实数域里的推广,可以结合实数域中的形式来理解。
第二章 复变量函数
1.复变量函数的定义
1)复变函数的反演变换(了解)
2)复变函数性质
反函数
有界性
周期性,
3)极限与连续性
极限:
连续性
2.复变量函数的形式偏导
1)复初等函数
2)指数函数:,在平面处处可导,处处解析;且。注:是以为周期的周期函数。(注意与实函数不同)
3)对数函数: (多值函数);
主值:。(单值函数)
的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且;
注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)
4)乘幂与幂函数:;
注:在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且。
5)三角函数:
在平面内解析,且
注:有界性不再成立;(与实函数不同)
6)双曲函数 ;
奇函数,是偶函数。在平面内解析
第三章 解析函数的定义
1.复变量函数的导数
复变量函数的解析性
2.函数可导与解析的充要条件
1)函数可导的充要条件:在可导
和在可微,且在 处满足条件: 此时, 有。
2)函数解析的充要条件:在区域内解析
和在在内可微,且满足条件:;
此时。
注意: 若在区域具有一阶连续偏导数,则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时,函数一定是可导或解析的。
解析映射的几何意义
保角性:任何两条相交曲线的夹角(即在交点的切线的夹角)在解析映射下的夹角保持不变
第四章 柯西定理和柯西公式
1. 复变函数积分的性质
1) (与的方向相反);
2)是常数;
3) 若曲线由与连接而成,则。
2.复变函数积分的一般计算法
1)化为线积分:;(常用于理论证明)
2)参数方法:设曲线: ,其中对应曲线的起点,对应曲线的终点,则
3.积分与路径无关的条件和原函数
1)条件:见书中定理(1.1)(1.2)命题(1.1)(1.2)
这几个定理及命题都只有理论上的意义。
柯西-古尔萨定理及其应用
4.柯西—古萨基本定理:
设在单连域内解析,为内任一闭曲线,则
5.复合闭路定理: 设在多连域内解析,为内任意一条简单闭曲线,是内的简单闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以为边界的区域全含于内,则
① 其中与均取正向;
② ,其中由及所组成的复合闭路。
6.闭路变形原理 : 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分,不因在内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。
7.解析函数沿非闭曲线的积分: 设在单连域内解析,为在内的一个原函数,则
说明:解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算时只要求出原函数即可。
8. 柯西积分公式:设在区域内解析,为内任一正向简单闭曲线,的内部完全属于,为内任意一点,则
9.高阶导数公式:解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为
其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于。
10重要结论:
。 (是包含的任意正向简单闭曲线)
8.复变函数积分的计算方法
1)若在区域内处处不解析,用一般积分法
2)设在区域内解析,
l 是内一条正向简单闭曲线,则由柯西—古萨定理,
l 是内的一条非闭曲线,对应曲线的起点和终点,则有
3)设在区域内不解析
l 曲线内仅有一个奇点:(在内解析)
l 曲线内有多于一个奇点: (内只有一个奇点)
或:(留数基本定理)
若被积函数不能表示成,则须改用第五章留数定理来计算。
在柯西定理的基础上还有莫拉雷定理,柯西不等式,刘维尔定理
最大模原理
解析函数的模不能再区域内达到极大值,除非它是一个常函数
1.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2.复合函数
(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
点击查看:高中数学知识点总结
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.判断对应是否为映射时,抓住两点:
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;
13.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解
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