九年级数学圆的知识点总结大全(3100字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.7.13

《圆》

一、知识回顾

圆的周长: C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr2

圆环面积计算方法:S=πR2-πr2或S=π(R2-r2)(R是大圆半径,r是小圆半径)

二、知识要点 一、圆的概念

集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内; 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上; 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点;

A

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)? 无交点 ? d?R?r; 外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r; 相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r; 内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r; 内含(图5)? 无交点 ? d?R?r;

图1

图2

五、垂径定理

图4

图5

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O中,∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD

六、圆心角定理

顶点到圆心的角,叫圆心角。

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,

B

D

只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①?AOB??DOE;②AB?DE;

③OC?OF;④ 弧BA?弧BD

七、圆周角定理

顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的即:∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所所对的弦是直径。

即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形。

即:在△ABC中,∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90?

B

O

A

角的一半。

B

相等的圆周角所对

对的弧是半圆,

B

A

角形是直角三

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。

即:在⊙O中,

∵四边形ABCD是内接四边形 ∴

?B??D?180?

?C??BAD?180?

?DAE??C

九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN?OA且MN过半径OA ∴MN是⊙O的切线

外端

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB PO平分?BPA

点。 心。

十一、圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P, ∴PA?PB?PC?PD

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径

B

B

D

积相等。

所成的两条线

A

段的比例中项。

即:在⊙O中,∵直径AB?CD, ∴CE2?AE?BE

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴ PA?PC?PB

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线 ∴PC?PB?PD?PE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这如图:O1O2垂直平分AB。

即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:

(1)公切线长:Rt?

O1O2C中,AB2?CO12?

(2)外公切线长:CO2是半径之差; 内公切线长:CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?BOD中进

2

线,切线长是这

两个圆的的公共弦。

O:

D?; B1D:

O2

(2)正四边形

同理,四边形的有关计

算在Rt?OAE中进行,

OE:AE:OA?

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt?OAB中进行

AB:O:B?O.3

:2

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:l?

n?R

180

; O

l

(2)扇形面积公式: S?

n?R21

360?2

lR n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

2、圆柱:

(1)A圆柱侧面展开图

D1 S表?S侧?2S底=2?rh?2?r2

?r2

h

C1

B圆柱的体积:V?(2)A圆锥侧面展开图

S表?S侧?S底=?Rr??r2

B圆锥的体积:V?1

3

?r2h


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第四章:《圆》 一、知识回顾

圆的周长: C=2πr或C=πd 、圆的面积:S=πr2

圆环面积计算方法:S=πR2 -πr2或S=π(R2 - r2)(R是大圆半径,r是小圆半径)

三、知识要点 一、圆的概念

集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。

2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两

条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内; 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上; 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点;

A

1

四、圆与圆的位置关系

外离(图1)? 无交点 ? d?R?r; 外切(图2)? 有一个交点 ? d?R?r; 相交(图3)? 有两个交点 ? R?r?d?R?r; 内切(图4)? 有一个交点 ? d?R?r; 内含(图5)? 无交点 ? d?R?r;

图1

图2

五、垂径定理

图4

图5

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O中,∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD

六、圆心角定理

2

B

D

顶点到圆心的角,叫圆心角。

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①?AOB??DOE;②AB?DE;

③OC?OF;④ 弧BA?弧BD

七、圆周角定理

顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。

1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB 2、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;

即:在⊙O中,∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。

即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即:在△ABC中,∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90?

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。

B

O

A

B

A

3

即:在⊙O中,

∵四边形ABCD是内接四边形

∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C 九、切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN?OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线 ∴PA?PB

PO平分?BPA

十一、圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P, ∴PA?PB?PC?PD

B

D

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项。

即:在⊙O中,∵直径AB?CD, ∴CE?AE?BE

2

A

4

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴ PA?PC?PB

2

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即:在⊙O中,∵PB、PE是割线 ∴PC?PB?PD?PE 十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。

如图:O1O2垂直平分AB。

即∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:

(1)公切线长:Rt?O1O2C中,AB2?CO12? (2)外公切线长:CO2是半径之差; 内公切线长:CO2是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt?BOD中进行:

OD:BD:OB?:2;

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在Rt?OAE中进行,OE:AE:OA? (3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt?OAB中进行,AB:OB:OA?2. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形:(1)弧长公式:l?

n?R

; 180

n?R21

?lR (2)扇形面积公式: S?

3602

n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l:扇形弧长 S:扇形面积

2、圆柱:

(1)A圆柱侧面展开图

S表?S侧?2S底=2?rh?2?r2

B圆柱的体积:V??r2

h (2)A圆锥侧面展开图

S表?S侧?S底=?Rr??r2

B圆锥的体积:V?1

?r2

3

h

D1C1

6

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