等差数列

知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。

等差数列的判定方法

1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．

2.等差中项：数列是等差数列．

3.数列是等差数列（其中是常数）。

4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

例1．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                         B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列                      D.既非等比数列又非等差数列

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：

为递增数列，为常数列， 为递减数列。

例2．等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂＋a₅＝4，a_n＝33，则n为(　　)

A．48       B．49       C．50      D．51

如(1)等差数列中，，，则通项　　　　；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______   ；

例3.设{a_n}是公差为正数的等差数列,若a₁+a₂+a₃＝15,a₁a₂a₃＝80,则a₁₁+a₁₂+a₁₃等于（    ）

A.120                   B.105                 C.90                   D.75

例4：已知数列{a_n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S_n有最大值，则使S_n>0的n的最大值为(　　)  

A．11       B．19     C．20      D．21

1..已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n(n-40),则下列判断正确的是(    )

A.a₁₉＞0,a₂₁＜0           B.a₂₀＞0,a₂₁＜0         C.a₁₉＜0,a₂₁＞0       D.a₁₉＜0,a₂₀＞0

2.若数列{a_n}的前n项和S_n＝n²-10n(n＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{na_n}中数值最小的项是第_______项.

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或.

(2）等差中项：数列是等差数列.

例5．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b²=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（    ）

A．1个                   B．2个                     C．3个                  D．4个

1．已知1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列的公差为(　　)

A．3或－3  B．3或－1     C．3        D．－3

2．在等差数列中，，则的值为(     )

（A）5            （B） 6           （C）8              （D）10

3 已知{a_n}为等差数列，若a₁+a₅+a₉＝π,则cos(a₂+a₈)的值为________________.

4、等差数列的前和的求和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

前和是关于的二次函数且常数项为0.

例6：等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂＋a₄＋a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{S_n}中也为常数的项是(　　)

_A．S₇　　　　　           B．S₈                C．S₁₃                                 D．S₁₅

例7：设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂＝－8，S₉＝－9，则S₁₆＝________.

1．等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，a₁＝－2010，－＝2，则S₂₀₁₀的值为________．

2. 设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（     ）

A.18    B.20    C.22    D.24

3 数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿

4已知数列 的前n项和，求数列的前项和

5设等差数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₃+a₇-a₁₀＝8,a₁₁-a₄＝4,则S₁₃等于（    ）

A.168                  B.156                   C.78              D.152

6.在各项均不为零的等差数列{a_n}中,若a_n+1-a_n²+a_n-1＝0(n≥2),则S_2n-1-4n等于…（    ）

A.-2                   B.0                   C.1                  D.2

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 

如：，，，，……；，，，，……；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；特别地，当时，则有，注：，

（1）等差数列中，，则＝____

设数列是等差数列，且公差为，

（Ⅰ）当项数为偶数时，

   

（Ⅱ）当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

1 在等差数列中，S₁₁＝22，则＝______

2 项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数

3 .已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(    )

A.5                 B.4                       C.3                      D.2

6、在等差数列中,有关的最值问题

（1）邻项变号法

① 当 、时，满足   的项数使得取最大值.

② 当 、时，满足   的项数使得取最小值.

（2）利用（时，是关于的二次函数）进行配方（注意应取正整数）

（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是            

（3）直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S _p = S _q则其对称轴为

(4) 等差数列{a_n}和{b_n}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.。

例8、设等差数列的前n项之和为S_n，已知a₃=12，S₁₂>0，S₁₃<0，

（1）求公差d的取值范围。

（2）指出S₁，S₂，S₃，…S_n中哪一个值最大，并说明理由。

1. 当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

3.若、是等差数列，则、等差数列的公差为k.

4.两个等差数列与的公差分别为和，则数列为等差数列，且公差为.

5.为等差数列，公差为，则数列 ()是等比数列，公比为。任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等差数列，公差为。

6.等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为             。

7.而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.

8.已知等差数列a₁,a₂,a₃,…,a_n的公差为d,则ca₁,ca₂,ca₃,…,ca_n(c为常数且c≠0)是…（    ）

A.公差为d的等差数列                                B.公差为cd的等差数列

C.非等差数列                                        D.以上都不对

等差数列测试题

1．已知为等差数列，，则等于（   ）

    A. -1             B. 1              C. 3              D.7

2．等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（    ）

A．1          B               C.- 2                D 3

3. 已知数列对任意的满足,且,那么等于（    ）

(A)-165       (B)-33          (C)-30        (D)－21

4．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（    ）

（A）－2        （B）－    （C）         （D）2

6．设等差数列的前项和为，若,则=          。

7．设等差数列的前项和为，若则    

8. 已知数列满足：

则_____；=_________

9. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，则其通项a_n=        ；若它的第k项

满足5<a_k<8，则k=    .

10.若数列的前项和，则此数列的通项公式

为              ；数列中数值最小的项是第                   项

11. .在数列中，=2     求a_n ？

12已知数列满足：

                     a_n= 结合函数图形，求出a_n的最值？

  

14. 设等差数列满足，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求的前项和及使得，最大的序号的值。

15.已知数列中，  求的前项和？

 

第二篇：等差数列知识总结

等差数列知识总结

一、等差数列的一般概念

1、定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示。

表示为：

2、通项公式：

①：，为首项，d为公差

②：

③：（关于n的一次表达式）

3、等差中项：

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，表示为：。

二、等差数列的性质（若数列是公差为d的等差数列）

1、；

2、若；

3、若；

4、下标成等差数列且公差为m的项组成公差为md的等差数列；

5、也成等差数列，公差为；

6、①若项数为2n+1，则且

，

（指中项，即，而指所有奇数项、所有偶数项之和）

   ②若项数2n，则

三、等差数列的判断

1、是等差数列；

2、是等差数列；

3、是等差数列；

4、为等差数列。