数列基础知识点和方法归纳                     

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

    ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解时，，∴                                   ①

时，                           ②

①—②得：，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

 如：数列中，，求

解，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

［练习］数列中，，求（）

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：，求

由已知得：，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

(

附：

公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：是公差为的等差数列，求

解：由

∴

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：                                          ①

                         ②

①—②

时，，时，

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

［练习］已知，则

     

由

∴原式

(附：

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{a_n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和S_n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a_n·b_n}中，{a_n}成等差数列，{b_n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{a_n}满足a_n+1=a_n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a_n+1-a_n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a_n ，从而求出S_n。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

)

                                                

 

第二篇：高中数学数列知识点总结(经典)

高中数列知识点总结                     

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

    ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解时，，∴                                   ①

时，                           ②

①—②得：，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

 如：数列中，，求

解，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

［练习］数列中，，求（）

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：，求

由已知得：，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

(

附：

公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：是公差为的等差数列，求

解：由

∴

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：                                          ①

                          ②

①—②

时，，时，

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

［练习］已知，则

     

由

∴原式

)