数列的通项的求法:
⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
习题1已知数列试写出其一个通项公式:__________
(答:)
⑵已知(即)求,用作差法:。习题2①已知的前项和满足,求(答:);
②数列满足,求(答:)
⑶已知求,用作商法:。
习题3数列中,对所有的都有,则______
(答:)
⑷若求用累加法:
。
习题4已知数列满足,,则=________(答:)
⑸已知求,用累乘法:。
习题5已知数列中,,前项和,若,求(答:)
⑹已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地,(1)形如、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求。
习题6①已知,求(答:);
②已知,求(答:);
(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
习题7①已知,求(答:);
②已知数列满足=1,,求(答:)
注意:(1)用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(,当时,);(2)一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解。习题8数列满足,求(答:)
数列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:,,.如(1)等比数列的前项和Sn=2n-1,则=_____(答:);
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 如求:(答:)
(3)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).
习题(1)设为等比数列,,已知,,①求数列的首项和公比;②求数列的通项公式.(答:①,;②);
(4)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:
①(重要); ②(重要);
③,;
④ ;
⑤.
如(1)求和: (答:);(2)在数列中,,且Sn=9,则n=_____(答:99);
第三部分:数列
考查等差、等比数列的基本量()计算(知二求三),用两个通项公式和四个求和公式即可解决的,此种题型主要是考查学生的基本计算能力。
例1:设等差数列{}的前项和为,公比是正数的等比数列{}的前 项和为,已知的通项公式﹒(参考答案:略)
考查内容:等差、等比数列的通项公式计算,即计算
例2:设等比数列的前n项和为﹒已知,求和﹒
考查内容:等比数列的通项公式及前项和公式
例3:(20##年福建17)在等差数列中,,﹒
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列的前项和,求的值﹒
例4:(20##年山东18)已知等差数列满足:,的前项和为(Ⅰ)求和;(Ⅱ)令
考查内容:等差数列的通项公式,求和公式,裂项相消法求和等知识
例5:(2011吉林重点中学联考)数列满足,,﹒
(Ⅰ)证明:数列是等差数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)设,求数列的前项和﹒
考查内容:等差数列定义,错位相减法求和
例6:(2006福建文22题)已知数列满足,,﹒
(Ⅰ)证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若数列满足,证明是等差数列﹒
考查内容:等差数列、等比数列定义,迭加法求数列通项,指数的运算法则
例7:已知数列的前项和为,,﹒
(Ⅰ)求;(参考答案:)
(Ⅱ)求证:数列是等比数列﹒
考查内容:数列通项与前项和递推式求数列通项
例8:在数列中,,,其中
(Ⅰ)求数列的通项公式;(参考答案:)
(Ⅱ)求数列的前项和﹒(参考答案:略)
考查内容:待定系数法求数列通项,错位相减法求和问题
例9:已知数列中,,点在直线上,其中.
(Ⅰ)令,求证数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项;
(Ⅲ)设分别为数列、的前项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出;若不存在,则说明理由.
例10:设数列的前项和为,点均在函数的图像上
(Ⅰ)求数列的通项;(参考答案:)
(Ⅱ)设,是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正整数.
考查内容:利用通项与前项和的关系求解通项,裂项相消法求和
例11:已知数列满足:﹒
(Ⅰ)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:﹒
例12:设是首项为1的正项数列,且(n=1,2,3…),求数列的通项公式﹒
例13:(20##年全国理21题)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(Ⅰ)设年内(本年度为第一年)总投入为万元,旅游业总收入为万元,写出的表达
式.
(Ⅱ)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
一、等差数列
1、数列的概念
例1.根据数列前4项,写出它的通项公式:
(1)1,3,5,7……;(2),,,;(3),,,。
解析:(1)=2; (2)= ; (3)= 。
如(1)已知,则在数列的最大项为__ ;
(2)数列的通项为,其中均为正数,则与的大小关系为___;
(3)已知数列中,,且是递增数列,求实数的取值范围;
2、等差数列的判断方法:定义法或。
例2.设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是( )
A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
答案:B;解法一:an=,∴an=2n-1(n∈N)
又an+1-an=2为常数,≠常数,∴{an}是等差数列,但不是等比数列.
解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列。
练一练:设是等差数列,求证:以bn= 为通项公式的数列为等差数列。
3、等差数列的通项:或。
4、等差数列的前和:,。
例3:等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值是一个确定的常数,则数列{an}中也为常数的项是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
解析:设a2+a4+a15=p(常数),∴3a1+18d=p,解a7=p.∴S13==13a7=p. 答案:C
例4.等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n为( )
A.48 B.49 C.50 D.51
解析:∵a2+a5=2a1+5d=4,则由a1=得d=,令an=33=+(n-1)×,可解得n=50.故选C.
如(1)等差数列中,,,则通项 ;
(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______ ;
例5:设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=________.
解析:S9=9a5=-9,∴a5=-1,S16=8(a5+a12)=-72. 答案:-72
例6:已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为( )
A.11 B.19 C.20 D.21
解析:∵<-1,且Sn有最大值,∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0,∴S19==19·a10>0,S20==10(a10+a11)<0.
所以使得Sn>0的n的最大值为19,故选B.答案:B
如(1)数列 中,,,前n项和,则=_,= ;
(2)已知数列 的前n项和,求数列的前项和.
5、等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且。
提醒:(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);偶数个数成等差,可设为…,,…(公差为2)
6.等差数列的性质:
常用结论
(1)前n项和为,则(m、n∈N*,且m≠n)。
(2)若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*,且m≠n,p≠q),则。
(3),,成等差数列。
即,则
(5) ①若a1>0,d<0,有最大值,可由不等式组来确定n;
②若a1<0,d>0,有最小值,可由不等式组来确定n,也可由前n项和公式来确定n。
(6)若an=m,am=n, (mn)则am+n=0
(7)若an=m,am=n, (mn)则am+n=0
(8)若Sn=m,Sm=n, (mn)则Sm+n=—m—n
重点:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
(4)若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、 ,…也成等差数列,而成等比数列;若是等比数列,且,则是等差数列.
练一练:等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 。
(5)在等差数列中,当项数为偶数时,;项数为奇数时,,(这里即);。
练一练:项数为奇数的等差数列中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.
(6)若等差数列、的前和分别为、,且,则.
练一练:设{}与{}是两个等差数列,它们的前项和分别为和,若,那么___________;
(7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
练一练:等差数列中,,,问此数列前多少项和最大?并求此最大值;
例7.(1)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130 B.170 C.210 D.260
解析:(1)答案:C;由S5<S6得a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0,又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,
由S7>S8,得a8<0,而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>02(a7+a8)>0,由题设a7=0,a8<0,显然C选项是错误的。
(2)答案:C。解法一:由题意得方程组,视m为已知数,解得,
∴。
解法二:设前m项的和为b1,第m+1到2m项之和为b2,第2m+1到3m项之和为b3,则b1,b2,b3也成等差数列。于是b1=30,b2=100-30=70,公差d=70-30=40。∴b3=b2+d=70+40=110,∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.
解法三:取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而d=a2-a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。
等差数列课后练习
一、选择题
1.若a≠b,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 ,b都是等差数列,则 ( )
A. B. C.1 D.
2.在等差数列中,公差=1,=8,则= ( )
A.40 B.45 C.50 D.55
3.等差数列的前三项为,则这个数列的通项公式为 ( )
A. B. C. D.
4.在等差数列,则在Sn中最大的负数为 ( )
A.S17 B.S18 C.S19 D.S20
5.已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1,则此数列的公差d 的取值范围是
A.(-∞,-2) B.[-, -2] C.(-2, +∞) D.(— ,-2)
6.在等差数列中,若,则n的值为 ( )
A.18 B17. C.16 D.15
7.等差数列中,等于( )
A.-20.5 B.-21.5 C.-1221 D.-20
8.已知某数列前项之和为,且前个偶数项的和为,则前个奇数项的和为
A. B. C. D.
9.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146所有项的和为234,则它的第七项等于
A.22 B .21 C.19 D.18
10.等差数列中,≠0,若m>1且,,则m的值是
A. 10 B. 19 C.20 D.38
二、填空题
11.已知是等差数列,且 则k= .
12.在△ABC中,A,B,C成等差数列,则 .
13.在等差数列中,若,则 .
14.是等差数列的前n项和,(n≥5,), =336,则n的值是 .
三、解答题
15.己知为等差数列,,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项? (2)新数列的第29项是原数列的第几项?
16.数列是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。
(1)求数列公差;(2)求前项和的最大值;(3)当时,求的最大值。
17.设等差数列的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求:
(1)的通项公式a n 及前n项的和S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
18.已知数列,首项a 1 =3且2a n+1=S n ·S n-1 (n≥2).
(1)求证:{}是等差数列,并求公差;(2)求{a n }的通项公式;
(3)数列{an }中是否存在自然数k0,使得当自然数k≥k 0时使不等式a k>a k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.
选择题:ABCCB DABDA 填空题:11.8; 12.; 13.24; 14.21.
解答题:15.分析:应找到原数列的第n项是新数列的第几项,即找出新、旧数列的对应关系。解:设新数列为即3=2+4d,∴,∴,,∴,即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.(1)当n=12时,4n-3=4×12-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项;(2)由4n-3=29,得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项。
说明:一般地,在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列,则新数列的公差为原数列的第n项是新数列的第n+(n-1)m=(m+1)n-m项.
16.解: (1), ,, ∴ 为整数, ∴ .
(2)=23=-2 =-,∴当时最大=78
(3)时,0,故最大值为12.
17.解:设等差数列首项为a1,公差为d,依题意得,解得:a1=-20,d=3。⑴⑵
∴.
18.分析:证为等差数列,即证(d是常数)。解:⑴由已知当⑵
⑶
一、等差数列1、数列的概念例1.根据数列前4项,写出它的通项公式:(1)1,3,5,7??;(2)2?122,3?132,4?14…
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