高中数列知识点总结

  数列知识点总结

第一部分  等差数列

一  定义式:  

二  通项公式:  

一个数列是等差数列的等价条件:(a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三  前n项和公式:      

       

一个数列是等差数列的另一个充要条件:(a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四  性质结论

1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,

如:3个数a-d,a,a+d; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d

2.的等差中项

在等差数列中,若,则

;若,则

3.若等差数列的项数为2,则

若等差数列的项数为,则,且

4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设

,则有

     5.,,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇

数)最大

        

第二部分   等比数列

一  定义:成等比数列。

二  通项公式:

数列{an}是等比数列的一个等价条件是:

时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。

三  前n项和:

(注意对公比的讨论)

四  性质结论:

1.的等比中项(同号);

2.在等比数列中,若,则

,则

3.设

, 则有

第三部分   求杂数列通项公式

一.  构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。

第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,

例如:

两边取倒数是公差为2的等差数列,从而求出

第二类:

是公差为1的等差数列

二。递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。

例如

【注:

求通项公式的题,不能够利用构造等比或者构造等差求的时候,一般通过递推来求

第四部分  求前n项和

一  裂项相消法:

二  错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,

 求:

①减②得:

从而求出

 错位相减法的步骤:

(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式

  (2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式

  (3)用①②,错位相减

  (4)化简计算

三  倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法

例:等差数列求和:

 

两式相加可得:

 

第二篇:高中数列知识点总结

第五章数列知识点总结

第一部分 数列

1. 2.

题型一 归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式

7,77,777,7777,… 1,3,3,5,5,7,7,9,9…

解析:将数列变形为

将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。可得数列的通项公式为

★题型二 应用求数列通项

例2.已知数列的前项和,求其通项公式.

解析:

不适合上式,故

热身练习

1、数列的通项公式为,则数列各项中最小项是第5项

2、已知数列是递增数列,其通项公式为,则实数的取值范围是

3、数列的前项和,,则

第二部分 等差数列

一、等差数列定义式:

二、等差数列通项公式:

一个数列是等差数列的等价条件: (a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三、等差数列前n项和公式:

一个数列是等差数列的另一个充要条件: (a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四、等差数列性质结论

1、3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,如:3个数a-d,a,a+d; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d

2、等差中项:若成等差数列,则的等差中项,且成等差数列是的充要条件。

3、等差数列中,

⑴若,则;若,则

仍成等差数列。

4、若等差数列的项数为2,则

若等差数列的项数为,则,且

5、凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设,则有

6、, ,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大

7、判断或证明一个数列是等差数列的方法:

定义法: 是等差数列

中项法: 是等差数列

通项公式法: 是等差数列

项和公式法: 是等差数列

热身练习:

1.等差数列中,,则的值为 16

2.已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于

3、已知等差数列中,等于 15

4、设为等差数列的前项和, =54

5、已知等差数列的前项和为,若7

6、等差数列中,已知==242,则= 11;

7、等差数列中,,则前10或11项的和最大。

解:为递减等差数列

为最大。

8、已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110

9、设等差数列的前项和为,已知求出公差的范围;指出中哪一个值最大,并说明理由。

解:

第三部分 等比数列

一 等比数列定义:成等比数列。

二 等比数列通项公式:,推广:

三 等比数列前n项和: (注意对公比的讨论)

四 等比数列性质结论:

1、的等比中项 (同号);

2、在等比数列中,若,则;若,则

3、

4、设, 则有

5、是正项等比数列是等差数列;

6、既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。

7、等比数列的判定法

定义法: 为等比数列;

中项法: 为等比数列;

通项公式法: 为等比数列;

项和法: 为等比数列。

热身练习:

1、(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且·=2=1,则=

2、2007重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为 2

3、已知等差数列的公差,且成等比数列,则的值为

4、(2009浙江理)设等比数列的公比,前项和为,则 15 .

解析 : 对于

5、①已知等比数列,则

②已知数列是等比数列,且,则= 70

③在等比数列中,公比,前99项的和,则32

④在等比数列中,若,则2或-2;若,则2

⑤在等比数列中,,则

6、设等比数列的公比与前项和分别为,且≠1,

7、在等比数列中,

,则

8、,则=

第四部分 求杂数列通项公式

一、构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。

第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,例如:

两边取倒数是公差为2的等差数列,从而求出

第二类:

是公差为1的等差数列

二、递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。

(累加法)例1:已知求其通项公式

解析:因为,所以

所以

即:

(累乘法)例2:已知,求其通项公式。

解:

点拨:在递推关系中若用累加法,若用累乘法,若,求用待定系数法或迭代法。

第五部分 求前n项和

一 裂项相消法:常见的拆项公式:

; ⑤

例1数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.

(1)求;(2)求证.

解:(1)设的公差为的公比为,则为正整数,

依题意有①由为正有理数,故的因子之一,解①得

(2)

二 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,

例2求:

解:当时,

时,

时,

①减②得:

错位相减法的步骤:(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式;(2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式;(3)用①②,错位相减;(4)化简计算

三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法:(《导学教程》第四章第四节“对点训练”2题)

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