数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 定义式:
二 通项公式:
一个数列是等差数列的等价条件:(a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三 前n项和公式:
一个数列是等差数列的另一个充要条件:(a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,
如:3个数a-d,a,a+d; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.与的等差中项;
在等差数列中,若,则
;若,则;
3.若等差数列的项数为2,则
;
若等差数列的项数为,则,且,
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设,,
,则有;
5.,,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇
数)最大
第二部分 等比数列
一 定义:成等比数列。
二 通项公式:,
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:
当且时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三 前n项和:;
(注意对公比的讨论)
四 性质结论:
1.与的等比中项(同号);
2.在等比数列中,若,则;
若,则;
3.设,,
, 则有
第三部分 求杂数列通项公式
一. 构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。
第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,
例如:,
两边取倒数是公差为2的等差数列,从而求出。
第二类:
是公差为1的等差数列
二。递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。
例如
【注: 】
求通项公式的题,不能够利用构造等比或者构造等差求的时候,一般通过递推来求。
第四部分 求前n项和
一 裂项相消法:
、
二 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
求:
①
②
①减②得:
从而求出。
错位相减法的步骤:
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式
(3)用①②,错位相减
(4)化简计算
三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法
例:等差数列求和:
两式相加可得:
第五章数列知识点总结
第一部分 数列
1. 2.
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式
7,77,777,7777,… 1,3,3,5,5,7,7,9,9…
解析:将数列变形为,
将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。可得数列的通项公式为
★题型二 应用求数列通项
例2.已知数列的前项和且,求其通项公式.
解析:当,
当
又不适合上式,故
热身练习
1、数列的通项公式为,则数列各项中最小项是第5项
2、已知数列是递增数列,其通项公式为,则实数的取值范围是
3、数列的前项和,,则
第二部分 等差数列
一、等差数列定义式:
二、等差数列通项公式:
一个数列是等差数列的等价条件: (a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三、等差数列前n项和公式:
一个数列是等差数列的另一个充要条件: (a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四、等差数列性质结论
1、3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,如:3个数a-d,a,a+d; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2、等差中项:若成等差数列,则称的等差中项,且;成等差数列是的充要条件。
3、等差数列中,
⑴若,则;若,则;
仍成等差数列。
4、若等差数列的项数为2,则;
若等差数列的项数为,则,且,
5、凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设,,,则有;
6、, ,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大
7、判断或证明一个数列是等差数列的方法:
定义法: 是等差数列
中项法: 是等差数列
通项公式法: 是等差数列
前项和公式法: 是等差数列
热身练习:
1.等差数列中,,则的值为 16
2.已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于
3、已知等差数列中,等于 15
4、设为等差数列的前项和, =54
5、已知等差数列的前项和为,若7
6、等差数列中,已知,则=;若=242,则= 11;
7、等差数列中,,则前10或11项的和最大。
解:,,∴为递减等差数列
∴为最大。
8、已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110
9、设等差数列的前项和为,已知求出公差的范围;指出中哪一个值最大,并说明理由。
解: ,
第三部分 等比数列
一 等比数列定义:成等比数列。
二 等比数列通项公式:,推广:
三 等比数列前n项和: (注意对公比的讨论)
四 等比数列性质结论:
1、与的等比中项 (同号);
2、在等比数列中,若,则;若,则;
3、
4、设,,, 则有
5、是正项等比数列是等差数列;
6、既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
7、等比数列的判定法
定义法: 为等比数列;
中项法: 为等比数列;
通项公式法: 为等比数列;
前项和法: 为等比数列。
热身练习:
1、(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则=
2、2007重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,,则公比q为 2
3、已知等差数列的公差,且成等比数列,则的值为
4、(2009浙江理)设等比数列的公比,前项和为,则 15 .
解析 : 对于
5、①已知等比数列,,则或
②已知数列是等比数列,且,则= 70
③在等比数列中,公比,前99项的和,则32
④在等比数列中,若,则2或-2;若,则2
⑤在等比数列中,,则
6、设等比数列的公比与前项和分别为和,且≠1,
7、在等比数列中,则,
若,则
8、,则=
第四部分 求杂数列通项公式
一、构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。
第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,例如:,
两边取倒数是公差为2的等差数列,从而求出。
第二类:
是公差为1的等差数列
二、递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。
(累加法)例1:已知求其通项公式
解析:因为,所以
所以
即:。
(累乘法)例2:已知,求其通项公式。
解:
,
点拨:在递推关系中若求用累加法,若求用累乘法,若,求用待定系数法或迭代法。
第五部分 求前n项和
一 裂项相消法:常见的拆项公式:
① ② ③
④; ⑤
、
例1数列为等差数列,为正整数,其前项和为,数列为等比数列,且,数列是公比为64的等比数列,.
(1)求;(2)求证.
解:(1)设的公差为,的公比为,则为正整数,,
依题意有①由知为正有理数,故为的因子之一,解①得 故
(2)
∴
二 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
例2求:
解:当时,;
当时,;
当时,①
②
①减②得:
错位相减法的步骤:(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式;(2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式;(3)用①②,错位相减;(4)化简计算
三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法:(《导学教程》第四章第四节“对点训练”2题)
一、等差数列1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个…
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