数列

第一部分  等差数列

一  定义式：  

二  通项公式：  

一个数列是等差数列的等价条件：(a，b为常数)，即是关于n的一次函数，因为，所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。

三  前n项和公式：      

        ………… ①

           …………  ②

         …… ③

按照序号顺序，使用公式。即首选①公式解题，再选②、③

一个数列是等差数列的另一个充要条件：(a，b为常数，a≠0)，即是关于n的二次函数，因为，所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。

四  性质结论

(一)3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，

如：3个数a-d,a,a+d； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d

(二)与的等差中项；

在等差数列中，若，则

；若，则；

(三)若等差数列的项数为2，则

；

若等差数列的项数为，则，且，

(四)凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设，，

，则有；

     (五),,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇

数)最大

        

第二部分   等比数列

一  定义：成等比数列。

二  通项公式：，

数列{a_n}是等比数列的一个等价条件是：

当且时，关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。

三  前n项和：；

(注意对公比的讨论)

四  性质结论：

(一)与的等比中项(同号)；

(二)在等比数列中，若，则；

若，则；

(三)设，，

， 则有

第三部分   求杂数列通项公式

一  构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式。

第一类：

是公比为的等比数列，从而求出。

第二类：

          

是公比为3的等比数列.

第三类：，系数之比为1的时候用叠加法。

第四类：既有又有利用，将所有S换成a，或者将所有a换成S。

第五类：关于与的二次式，或者与的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。

二  构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。

第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式，

例如：，

两边取倒数是公差为2的等差数列，从而求出。

第二类：

是公差为1的等差数列

三  递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

例如

【注: 】

求通项公式的题，不能够利用构造等比或者构造等差求的时候，一般通过递推来求。

第四部分  求前n项和

一  裂项分组法：

、

二  错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，

 求：

①

②

①减②得：

从而求出。

 错位相减法的步骤：

(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式

  (2)将①式左右两边都乘以公比q，得到②式

  (3)用①②，错位相减

  (4)化简计算

三  倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法

1：等差数列求和：

 

两式相加可得：

2：设.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

的值为_________.

   ①

   ②

①+②得

          ,

∴

 

第二篇：高中数学数列知识点总结

数列

一、数列定义：

     数列是按照一定次序排列的一列数，是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。

注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；

（2）和之间的关系：

二、等差数列、等比数列的性质：

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：或（为常数）是等差数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（为常数）是等差数列

④前项和公式法：（为常数）是等差数列

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列

④前项和公式法：（是常数）是等差数列

四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……

（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。

②递推式为：迭加法

如：已知中，，求

③递推式为：迭乘法

如：已知中，，求

④递推式为（为常数）：

构造法：Ⅰ、由相减得，则

为等比数列。

Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。

如：已知，求

⑤递推式为（为常数）：

两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。

如：已知中，，，求

⑥递推式为（为常数）：

将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。

如：已知中，，，求

（3）公式法：运用

①已知，求；②已知中， ，求；

③已知中，，求

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前项和公式：②；

③；④

（2）倒序相加（乘）法：

如：①求和：；

②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；

（3）错位相减法：如：求和：

（4）裂项相消法：             ；             ；

如：①           ；

②           ；

③若，则               ；

（5）并项法：如：求

（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，

六、数列问题的解题的策略：

分类讨论问题：

①   在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时

②已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成www.ks5u.com