一、二次函数的定义

一般地，如果y=ax 2 +bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x二次函数。 注：二次函数y=a x 2 +bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，的最高次数是2；二次项系数a≠0。 二、二次函数的图象及画法

1、二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象是以为顶点，以直线x=2a2a4a为对称轴的抛物线。

2、用描点法画二次函数的步骤。

(1)用配方法化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴的两侧用对称性描点画图。

a注：(1) 的大小决定抛物线的开口大小。a越大，开口越小；a越小，

开口越大。

(2) a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b=0时，对称轴为轴；当ab﹥0时，对称轴在y轴左侧（简称：左同）；ab﹤0，对称轴在y轴的右侧（简称：右异）。

(3) c的大小决定抛物线与y轴的交点位置：c=0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。

(4)b2-4ac的大小决定抛物线与x轴的交点个数：b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

(5) 画抛物线的草图，要确定：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点。

?

-

b

,

4ac-b2

?

-

b

四、图象的平移

规律：对自变量x来说，向右平移用“－”，向左平移用“+”；

对自变量y来说，向上平移用“－”，向下平移用“+”；

2

例：将抛物线y=3x向右平移2个单位，再乡下平移3个单位得到的抛物线的解析

22

式为y+3=3（x-2），即y=3（x-2）-3。

注：该方法对其它函数图象的平移也适合。 五、顶点坐标的求法 1、配方法：即将y=ax 2 +bx+c化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ形式，得到顶点坐标为（h，k）。

2、公式法：将a、b、c的值代入

b2a

,4ac-b24a

-

b2a

4ac-b2

?

-

?

，

4a

中，得顶点坐标为

。

x=-b2a

3、代入法：先求出的值，再代入y=ax 2 +bx+c中，求出y，得顶点坐标为（x，y）。

，则p（2，1）；

4a

2

2

例：求抛物线y=x-4x+5的顶点p坐标

2=（x-2）2+1解法1，配方法：y=x-4x+5

解法2，公式法：

-

b2ab

=

-

-42--4

4ac-b2

=2，==1，则p（2，1）；

2解法3，代入法：==2，y=2-8+5=1，则p（2，1）。 2a

六、顶点的位置

2

1、顶点在x 轴上的条件为b-4ac=0 例：y=x2-6x+c顶点在x轴上，求c。 解：△=(-6)2-4c=0，得c=9。 2、顶点在y轴上的条件为b=0。

例：y=2x2+(m-1)x-6顶点在y轴上，求m。 解：由题意易得m-1=0，则m=1。 3、顶点在原点的条件为b=c=0。

4、顶点在各象限内的条件为△≠0，b≠0。 七、解析式的求法。

1、三点型

解析式设为：y=ax 2 +bx+c （a≠0），适用于抛物线过三个已知点时。 2、顶点型

解析式设为：ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ（a≠0），适用于已知抛物线的顶点时。 3、交点型

x=-

解析式设为：

y=a(x-x1)(x-x2)

（a≠0），适用于已知抛物线与x轴交点坐标

(x1,0),(x2,0)时。

例：抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-8），求该抛物线的解析式。

解：方法1，三点型 设解析式为：y=ax 2 +bx+c，将A、B、C的坐标代入，得a-b+c=0；9a+3b+c=0；a+b+c=0，联立方程组，解得a=2，b=-4，c=-6，因此抛物线的解析式为

y=2x2-4x-6。

方法2、交点型 设y=a(x+1)(x-3) 把c（1，-8）代入，求得a=2，因此，抛物线

2

的解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x-4x-6。

 

第二篇：一次函数总结

1.正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数。

2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式：通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式，已知两点便可确定一次函数解析式。

3.一次函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),( ,0)两点的一条直线。

4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系：当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限，当k<0时直线过第二、四象限；b 决定直线与y轴交点的位置，b>0直线交y轴于正半轴，b<0直线交y轴于负半轴。

5．直线L1与L2的位置关系由k、b来确定：当直线L1∥L2时k相同b不同；当直线L1与L2重合时k、b都相同；当直线L1与L2相交于y轴同一点时，k不同b相同。

6．一次函数经常与一次方程、一次不等式相联系。

1．一次函数y=x-1的图像不经过( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.(20xx?福州)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图像过第二、四象限,则( )

A.y随x的增大而减小B.y随x的增大而增大

C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小

D.不论x如何变化,y不变

3.(20xx?甘肃)结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是

( )

A.y=1 B.1≤y<4 C.y=4 D.y>4

4.(20xx?哈尔滨)直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C最多有( )

A.4个 B.5个 C.7个 D.8个

5．某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系式是，某居民某月的电话费是38.7元，则通话时间是分钟，若通话时间62分钟，则电话费为元．

6.如图, 表示商场一天的家电销售额与销售量的关系, 表示一天的销售成本与销售量的关系.

①当时,销售额= 万元,销售成本= 万元.此时，商场是是赢利还是亏损？

②一天销售件时,销售额等于销售成本.

③对应的函数表达式是 .

④写出利润与销售量间的函数表达式.

7．某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车公司签订租车合同．设汽车每月行驶xKm，个体车主的月费用是y1元，出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图像，如图，观察图像并回答下列问题；

（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租用公司的车更省钱？

（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租两家的车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程在2300Km，那么这个单位租哪家的车比较合算？

8．在直角坐标系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（—1，

1）为顶点的正方形．设正方形在直线y＝x上方及直线y＝－x＋2a上方部分的面积为S．

（1）求a＝时，S的值．

（2）当a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式．

9．已知一次函数y= x＋m的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数y= 的图像在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．

（1）求m、n的值，并作出两个函数图像；

（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度分别沿线段AD、CA向D、A运动，设AP＝k．问k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？

10．如图,L1、L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(h)的函数图像,假设两种灯的使用寿命都是2 000h,照明效果一样.

(1)根据图像分别求出L1、L2的函数关系式;

(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等?

(3)小亮房间计划照明2 500h,他买了一个白炽灯和一个节能灯, 请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案,不必写出解答过程).

11．甲乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶,为了确定汽车的位置, 我们用数轴Ox表示这条公路,原点O为零千米路标(如图),并作如下约定:

①速度v>0,表示汽车向数轴正方向行驶;速度c<0,表示汽车向数轴负方向行驶;速度v=0,表示汽车静止.

②汽车位置在数轴上的坐标s>0,表示汽车位于零千米路标的右侧;汽车位置在数轴上的坐标s<0,表示汽车位于零千米路的左侧;汽车位置在数轴上的坐标s=0,表示汽车恰好位于零千米路标处.

遵照上述约定,将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况,以一次函数图像的形式画在了同一直角坐标系中,如图.请解答下列问题:

(1)就这两个一次函数图像所反映的两汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格.

行驶方向 速度的大小(km)h 出发前的位置

甲车

乙车

(2)甲乙两车能否相遇?如能相遇,求相遇时的时刻及在公路上的位置;如不能相遇,请说明理由.

参考答案：

1.B 2.A 3.D 4.C

5．y =0.15x+24,98,33.3 6.① , ,亏损②3 ③y1= x ④y= x—2

7．（1）超过3000千米，（2）3000千米（3）个体

8．（1）（2）当a≤—1时，S=2；当—1＜a≤0时，S=2—（1＋a）2；当0＜a≤1时，S=（1—a）2；当a≥1时，S=0。 9．（1）3，6 （2）或

10．(1)设直线L1的解析式为y1=k1x+2,由图像得17=500k1+2,解得k1=0.03.

∴y1=0.03x+2(0≤x≤2 000).

设直线L2的解析式为y2=k2x+20,

由图像得26=500k2+20,解得k2=0.012,

y=0.012x+20(0≤x≤2 000).

(2)当y1=y2时,两种灯的费用相等.

0.03x+2=0.012x+20,解得x=1 000.

∴当照明时间为1 000小时时,两种灯的费用相等.

(3)节能灯使用2 000小时,白炽灯使用500小时.

11．解:(1)甲车:x轴负方向(向左),40,零千米路标右侧190千米;

乙车:x轴正方向(向右),50,零千米路标左侧80千米处.

(2)甲乙两车相遇

设经过t小时两车相遇,由得

所以经过3小时两车相遇,相遇在零千米路标右侧70千米处.