初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标

⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

   方法二:

沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或

沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或

二、二次函数的性质

  1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为

时,的增大而减小;当时,的增大而增大;当时,有最小值

  2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,的增大而增大;当时,的增大而减小;当时,有最大值

三、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:为常数,);

2. 顶点式:为常数,);

3. 两根式:是抛物线与轴两交点的横坐标).

四、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中,作为二次项系数,显然

     ⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;

     ⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.

总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.

   ⑴ 在的前提下,

时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;

时,,即抛物线的对称轴就是轴;

时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.

⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即

时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;

时,,即抛物线的对称轴就是轴;

时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.

总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.

的符号的判定:对称轴轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”

五、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有三种情况,可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后,得到的解析式是

关于轴对称后,得到的解析式是

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后,得到的解析式是

关于轴对称后,得到的解析式是

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后,得到的解析式是

    关于原点对称后,得到的解析式是

1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以为自变量的二次函数的图像经过原点, 则的值是         

2. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:

已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。

3. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:

已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-

(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

    5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

例1 (1)二次函数的图像如图1,则点在(  )

         A.第一象限    B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

    (2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是(  )

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

           

                       (1)                         (2)

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为(  )

  A 1个  B. 2个  C. 3个  D.4个

例3、 “已知函数的图象经过点A(c,-2),   

求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。

(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数的顶点坐标是(   )

A.(2,-11)          B.(-2,7)        C.(2,11)        D. (2,-3)

2. 把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是(   )

A.     B.    C.    D.

3.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A.                       B.  

C.       D.

4函数在同一直角坐标系中图象可能是图中的(   )

5.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是(    )

 A.1个       B.2个       C. 3个           D. 4个

6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在(  )

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

二、填空题

7.已知抛物线y=-2(x+3)²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.

8.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当<0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是               (只写一个即可)。

9. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=           ,c=        

10.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)点P为抛物线上的一个动点,求使5 :4的点P的坐标。

 

第二篇:初三数学二次函数知识点总结

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如是常数,)的函数,叫做二次函数。      

2. 二次函数的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.

是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. 的性质:

上加下减。

3. 的性质:

左加右减。

4. 的性质:

三、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标

⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

   方法二:

沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或

沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或

四、二次函数的比较

从解析式上看,是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中

五、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

六、二次函数的性质

  1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为

时,的增大而减小;当时,的增大而增大;当时,有最小值

  2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,的增大而增大;当时,的增大而减小;当时,有最大值

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:为常数,);

2. 顶点式:为常数,);

3. 两根式:是抛物线与轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中,作为二次项系数,显然

     ⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;

     ⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.

总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.

   ⑴ 在的前提下,

时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;

时,,即抛物线的对称轴就是轴;

时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.

⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即

时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;

时,,即抛物线的对称轴就是轴;

时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.

总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.

的符号的判定:对称轴轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”

总结:

  3. 常数项

     ⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;

     ⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为

     ⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.

     总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.

 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后,得到的解析式是

关于轴对称后,得到的解析式是

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后,得到的解析式是

关于轴对称后,得到的解析式是

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后,得到的解析式是

    关于原点对称后,得到的解析式是

  4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)

    关于顶点对称后,得到的解析式是

关于顶点对称后,得到的解析式是

  5. 关于点对称  

关于点对称后,得到的解析式是

    十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数:

① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.

② 当时,图象与轴只有一个交点;

③ 当时,图象与轴没有交点.

 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有

 时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有

2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数的符号,或由二次函数中的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;

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