平面向量知识点

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设，则+==

（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；

，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法：  ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)     若，则

(2)     若，则

(3)     若=(x,y)，则=(x, y)

(4)     若，则

(5)     若，则

若，则

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos

叫做与的数量积（或内积） 规定

2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：

5乘法公式成立：

；

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：（1）结合律不成立：；

（2）消去律不成立不能得到

（3）=0不能得到=或=

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量，则·=

8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥

10两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质

 

第二篇：高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量

知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：设，则+==

（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；

，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法：  ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：

(1)     若，则

(2)     若，则

(3)     若=(x,y)，则=(x, y)

(4)     若，则

(5)     若，则

若，则

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos

叫做与的数量积（或内积） 规定

2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：

5乘法公式成立：

；

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：（1）结合律不成立：；

（2）消去律不成立不能得到

（3）=0不能得到=或=

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量，则·=

8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥

10两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·＝O平面向量数量积的性质