一、等差数列
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式:;
说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列。
3、等差中项的概念:
定义:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中 ,,成等差数列。
4、等差数列的前和的求和公式:。
5、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是,
如:,,,,……;,,,,……;
(3)在等差数列中,对任意,,,;
(4)在等差数列中,若,,,且,则;
说明:设数列是等差数列,且公差为,
(Ⅰ)若项数为偶数,设共有项,则①奇偶; ② ;
(Ⅱ)若项数为奇数,设共有项,则①偶奇;②。
6、数列最值
(1),时,有最大值;,时,有最小值;
(2)最值的求法:①若已知,可用二次函数最值的求法();②若已知,则最值时的值()可如下确定或。
二、等比数列
1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即::数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,5,。(注意:“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:。
说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比时该数列既是等比数列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:若为等比数列,则。
3.等比中项
如果在中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。
4.等比数列前n项和公式
一般地,设等比数列的前n项和是,当时, 或;当q=1时,(错位相减法)。
说明:(1)和各已知三个可求第四个;(2)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆;(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。
5.等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项,是等差数列的第项,且,公比为,则有;
②对于等比数列,若,则,也就是:,如图所示:。
③若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列。
如下图所示:
三、数列前n项和
1.数列求通项与和
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式:an= 。
(2)求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列;
②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1;
③归纳、猜想法。
(3)数列前n项和
①重要公式:1+2+…+n=n(n+1);
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1);
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2;
②等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;
③等比数列中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn;
④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项,如:、=-、n·n!=(n+1)!-n!、Cn-1r-1=Cnr-Cn-1r、=-等。
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常用错项相消法。, 其中是等差数列, 是等比数列,记,则,…
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和,然后再求Sn。
数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。
⑦通项分解法:
2.递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1,及a1=1,确定的数列即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:
(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。
(2)迭代法。
(3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。
(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
一、高中数列基本公式:
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时,Sn=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、 、 仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
11、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。
12、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。
13. 在等差数列 中:
(1)若项数为 ,则
(2)若数为 则, ,
14. 在等比数列 中:
(1)若项数为 ,则
(2)若数为 则,
数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 定义式:
一个数列是等差数列的等价条件: (a,b为常数),即是关于n的一次函数,因为,所以关于n的图像是一次函数图像的分点表示形式。
二 通项公式:
三 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置,如:3个数a-d,a,a+d; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.与的等差中项;
在等差数列中,若,则;若,则;
3.若等差数列的项数为2,则;
若等差数列的项数为,则,且,
4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设,,则有;
5., ,则前(m+n为偶数)或(m+n为奇数)最大
第二部分 等比数列
一 定义:成等比数列。
二 通项公式:,
数列{an}是等比数列的一个等价条件是:当且时,关于n的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三 性质结论:
1.与的等比中项 (同号);
2.在等比数列中,若,则;若,则;
3.设,,, 则有
第三部分 求递推数列通项公式
类型一:累加法 形如a=a+ f (n), 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式(a)或可裂项成差的分式形式.——可移项后叠加相消.
类型二: 累积法 形如.其中f (n) = (p≠0,m≠0,b –c = km,k∈Z)或=kn(k≠0)或= km ( k ≠ 0, 0<m且m ≠ 1).
类型三:形如=,(pq ≠ 0).且的数列,——可通过倒数变形为基本数列问题.
当p = -q时,则有: 转化为等差数列;
当p ≠ -q时,则有:.同类型五转化为等比数列.
类型四:特征根法 形如a=pa+ q ,pq≠0 ,p、q为常数.
当p =1时,为等差数列;
当p ≠1时,可在两边同时加上同一个数x,即a+ x = pa+ q + x
a+ x = p(a+), 令x = ∴x = 时,有a+ x = p(a+ x ),从而转化为等比数列 {a+ } 求解.
类型五:形如a=pa+ f (n),p≠0且 p为常数,f (n)为关于n的函数.
当p =1时,则 a=a+ f (n) 即类型一.
当p ≠1时,f (n)为关于n的多项式或指数形式(a)或指数和多项式的混合形式.
⑴若f (n)为关于n的多项式(f (n) = kn + b或kn+ bn + c,k、b、c为常数),——可用待定系数法转化为等比数列.
⑵若f (n)为关于n的指数形式(a).
①当p不等于底数a时,可转化为等比数列;
②当p等于底数a时,可转化为等差数列.
第四部分 求前n项和
一:公式法求和直接用等差、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时定要讨论
二.裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!(6)c/((n+a)(n+b))=(c/(a-b))*(1/( n+a)-1/(n+b))
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意: 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。
三.错位相减 如:
说明 求形如{an·bn}的数列的前n项和,若其中{an}成等差数列,{bn}成等比数列,则可采用推导等比数列求和公式的方法,即错位相减法,此方法体现了化归思想.
四:分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和
五:合并求和:当通项公式中含有(-1)n,求和时可以对n的奇偶进行讨论,然后分情况求和.
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
可以先求出奇数项和偶数项的和,再相减。
但更好的方法是:(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
8.其它求和法:如:归纳猜想法,奇偶法等
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