二次函数

一、  函数定义与表达式

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化

二、  函数图像的性质——抛物线

（1）开口方向——二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.

（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线

              一般式：      

对称轴   顶点式：x=h

              两根式：x=

（3）对称轴位置

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）

a与b同号（即ab＞0）          对称轴在y轴左侧

a与b异号（即ab＜0）          对称轴在y轴右侧

（4）增减性，最大或最小值

当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；

当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；

（5）常数项c

常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。

（6）    a\b\c符号判别

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中a、b、c的符号判别：

（1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；

（2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；

（3）b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧，则a、b异号；

（7）抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

这两点间的距离

Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 顶点在x轴上。

Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（ 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）

（8）特殊的

①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则

Δ=b²-4ac=0；

②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；

③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；

三、平移、平移步骤：

⑴         将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵         左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。

随堂练：

一、选择题：

1、对于的图象下列叙述正确的是                               （    ）

A   的值越大，开口越大

B   的值越小，开口越小

C   的绝对值越小，开口越大         

D   的绝对值越小，开口越小

2、对称轴是x=-2的抛物线是（     ）

A. .y= -2x²-8x     B   y= 2x²-2

C . y=2(x-1)²+3    D. y=2(x+1)²-3

3、与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（    ）

A．     B．　C．   D．

4、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（    ）

A．x＝4 　B. x＝3  C. x＝－5   D. x＝－1。

5、抛物线的图象过原点，则为（    ）

A．0      B．1      C．－1      D．±1

6、把二次函数配方成顶点式为（    ）

A．         B.

C．      D．

7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)²－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（    ）

A.(0，0) 　B.(1，－2)  　C.(0，－1)   D.(－2，1)

8、函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ）

A．       B．

C．       D．

9、抛物线则图象与轴交点为                     （    ）

A．   二个交点       B．  一个交点           C．     无交点          D．    不能确定

10、二次函数

的图象如图所示，则，

，，

这四个

式子中，值为正数的有（    ）

A．4个   B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题：

1、已知抛物线，请回答以下问题：

它的开口向         ，对称轴是直线           ，顶点坐标为          ；

2、抛物线过第二、三、四象限，则   0，   0，   0．

3、抛物线可由抛物线向    平移    个单位得到．

4、抛物线在轴上截得的线段长度是                 ．

5、抛物线，若其顶点在轴上，则        ．

6、已知二次函数，则当    时，其最大值为0．

7．二次函数的值永远为负值的条件是    0，    0．

8．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，

S_△ABC=3，则=      ，=      ．

三、解答

1、已知二次函数y=2x²-4x-6  求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标

2、已知抛物线与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，

（1） 求证： b＋1＋ac=0

（2）若C与B两点距离等于，一元二次方程的两根之差的绝对值等于1，求抛物线的解析式.

四、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

随堂练:

1、      已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式；

2、  已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；

3、  已知抛物线的对称轴为直线x=2， 且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；

4、 已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；

5、 已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；

6、 抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；

7、  抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y_最大值=4，求此抛物线的解析式；

8．如图，在同一直角坐

标系中，二次函数的图象

与两坐标轴分别交于

A（－1，0）、点B（3，0）

和点C（0，－3），一次函数

的图象与抛物线交于B、C两点。

⑴二次函数的解析式为                     ．

⑵当自变量      时，两函数的函数值都随增大而增大．

⑶           自变量        时，一次函数值大于二次函数值．

9、顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为                     ．

10、对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为                     ．

11、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

　　甲：对称轴是直线x=4；

　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　　　　　　　　　　　　　　　　

五、二次函数解析式中各参数对图象的影响

a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)

h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)

k──顶点纵坐标即最  值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)

b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)

c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方；c<0时在x轴下方；c=0时必过原点)

特殊点纵坐标的位置:如(1，a+b+c)、(-1，a-b+c)等

六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)

一元二次方程ax²+bx+c=0

的解是二次函数y=ax²+bx+c

的图象与x轴交点的横坐标

即                    ；

一元二次不等式ax²+bx+c>0的解集是二次函

数y=ax²+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即                     ；

一元二次不等式ax²+bx+c<0的解集是二次函数y=ax²+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围，即：               .

七、二次函数的最值——看定义域

  定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最  值；

  定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值

八、抛物线对称变换前后的解析式

 

  y=ax ²+ bx+ c                  y= ax ²- bx + c         

 

 

y=-ax²-bx-c              y=-ax²+bx-c

九. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

 

第二篇：一元二次函数总结

一、二次函数的定义

一般地，如果y=ax 2 +bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x二次函数。 注：二次函数y=a x 2 +bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，的最高次数是2；二次项系数a≠0。 二、二次函数的图象及画法

1、二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象是以为顶点，以直线x=2a2a4a为对称轴的抛物线。

2、用描点法画二次函数的步骤。

(1)用配方法化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴的两侧用对称性描点画图。

a注：(1) 的大小决定抛物线的开口大小。a越大，开口越小；a越小，

开口越大。

(2) a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b=0时，对称轴为轴；当ab﹥0时，对称轴在y轴左侧（简称：左同）；ab﹤0，对称轴在y轴的右侧（简称：右异）。

(3) c的大小决定抛物线与y轴的交点位置：c=0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。

(4)b2-4ac的大小决定抛物线与x轴的交点个数：b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

(5) 画抛物线的草图，要确定：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点。

?

-

b

,

4ac-b2

?

-

b

四、图象的平移

规律：对自变量x来说，向右平移用“－”，向左平移用“+”；

对自变量y来说，向上平移用“－”，向下平移用“+”；

2

例：将抛物线y=3x向右平移2个单位，再乡下平移3个单位得到的抛物线的解析

22

式为y+3=3（x-2），即y=3（x-2）-3。

注：该方法对其它函数图象的平移也适合。 五、顶点坐标的求法 1、配方法：即将y=ax 2 +bx+c化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ形式，得到顶点坐标为（h，k）。

2、公式法：将a、b、c的值代入

b2a

,4ac-b24a

-

b2a

4ac-b2

?

-

?

，

4a

中，得顶点坐标为

。

x=-b2a

3、代入法：先求出的值，再代入y=ax 2 +bx+c中，求出y，得顶点坐标为（x，y）。

，则p（2，1）；

4a

2

2

例：求抛物线y=x-4x+5的顶点p坐标

2=（x-2）2+1解法1，配方法：y=x-4x+5

解法2，公式法：

-

b2ab

=

-

-42--4

4ac-b2

=2，==1，则p（2，1）；

2解法3，代入法：==2，y=2-8+5=1，则p（2，1）。 2a

六、顶点的位置

2

1、顶点在x 轴上的条件为b-4ac=0 例：y=x2-6x+c顶点在x轴上，求c。 解：△=(-6)2-4c=0，得c=9。 2、顶点在y轴上的条件为b=0。

例：y=2x2+(m-1)x-6顶点在y轴上，求m。 解：由题意易得m-1=0，则m=1。 3、顶点在原点的条件为b=c=0。

4、顶点在各象限内的条件为△≠0，b≠0。 七、解析式的求法。

1、三点型

解析式设为：y=ax 2 +bx+c （a≠0），适用于抛物线过三个已知点时。 2、顶点型

解析式设为：ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）2＋ｋ（a≠0），适用于已知抛物线的顶点时。 3、交点型

x=-

解析式设为：

y=a(x-x1)(x-x2)

（a≠0），适用于已知抛物线与x轴交点坐标

(x1,0),(x2,0)时。

例：抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-8），求该抛物线的解析式。

解：方法1，三点型 设解析式为：y=ax 2 +bx+c，将A、B、C的坐标代入，得a-b+c=0；9a+3b+c=0；a+b+c=0，联立方程组，解得a=2，b=-4，c=-6，因此抛物线的解析式为

y=2x2-4x-6。

方法2、交点型 设y=a(x+1)(x-3) 把c（1，-8）代入，求得a=2，因此，抛物线

2

的解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x-4x-6。