2.向量的概念

（1）向量的基本概念

①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。

②特定大小或特定关系的向量

零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

③表示法：几何法：画有向线段表示，记为或α。

④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，记作：=(x, y)  称作向量的坐标.

=(x₂-x₁,y₂-y₁)，其中A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

（2）向量的运算

①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂),a-b=(x₁-x₂,y₁-y₂)。其中a=(x₁，y₁),b=(x₂,y₂)。

运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。

②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：

λa=λ(x,y)=(λx, λy)

(1)︱︱=︱︱·︱︱;

(2) 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；

当=0时，=0． 

(3)若=（），则·=（）．

运算律

λ（μa）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb。

3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：

（1）．向量的夹角：已知两个非零向量与b，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则

·=︱︱·︱︱cos．

其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：·=·,(λ)·=·(λ)=λ（·），（+）·=·+·。若=（）,=（）则·=

（ⅰ）⊥·=0（，为非零向量）;

（ⅱ）向量与夹角为锐角

（ⅲ）向量与夹角为钝角

4.定理与公式

①    共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a

结论：∥ (¹)的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0

注意：1°消去λ时不能两式相除，∵y₁, y₂有可能为0， ∵¹∴x₂, y₂中至少有一个不为0

2°充要条件不能写成       ∵x₁, x₂有可能为0

3°向量共线的充要条件有两种形式：∥ (¹)

②平面向量基本定量：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ₁,λ₂使=λ₁+λ₂

③两向量垂直的充要条件

(i) ⊥·=0   (ii) ⊥x₁·x₂+y₁·y₂=0（=(x₁,y₁), =(x₂,y₂)）

④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β，其中α+β=1，O为平面内的任一点。

⑤数值计算公式

两点间的距离公式：||=，其中[P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)]

P分有向线段所成的比：

设P₁、P₂是直线上两个点，点P是上不同于P₁、P₂的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。

当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；

分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则：  中点坐标公式：

两向量的夹角公式：cosθ==

0≤θ≤180°,a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)

⑥图形变换公式： 平移公式：若点P₀(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，

则

⑦有关结论

(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则(+);

一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即=λ，λ≠-1）则=+，此即线段定比分点的向量式

 (ii)有限个向量，a₁,a₂,…,a_n,相加，可以从点O出发，逐一作向量=a₁, =a₂,…, =a_n,则向量即这些向量的和，即

a₁+a₂+…+a_n=++…+=（向量加法的多边形法则）。

当A_n和O重合时（即上述折线OA₁A₂…A_n成封闭折线时），则和向量为零向量。

注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。

5.向量的应用

（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

 

第二篇：测量总结

观《高铁测量规范》总结

今天晚上公司总工李玉碧给我们一架子队总工及技术员开了个技术会议，主要强调了我们在测量方面的问题，以前没有注意过的这些问题在看过《高铁测量规范》后深刻的发现了自己的问题。

一、全站仪及水准仪使用要求。

1、视线宜高出地面和离开障碍物1.2m 以上。

2、视线应避免通过受电、磁场干扰的地方，一般要求离开高压线2～5m。

3、视线背景应避免反光体，在反射光束范围内，不得同时出现两个反射器。

4、在低气温下作业时，应有一定的预热时间，使仪器各电子部件达到正常稳定的工作状态，方可测量。

5、在晴天作业时，仪器应打伞，严禁将照准头对向太阳。在线路、桥梁、隧道控制测量中，当反射镜无遮阳罩时应打伞。

二、路基测量

路基定测横断面间距一般为20m，不同线下基础之间过渡段范围应加密为5～10m。在曲线控制桩、百米桩和线路纵、横向地形明显变化以及大中桥头、隧道洞口、路基支挡及承载结构物起讫点等处，应测设横断面。

横断面测量采用水准仪、经纬仪、全站仪等测量时，测量限差应满足下列公式要求： 高差 ±（L/1000+h/100+0.2）m

距离 ±（L/100+0.1）m。

式中 h— 检测点至线路中桩的高差（m）；

L— 检测点至线路中桩的水平距离（m）。

桩位控制点的线路纵、横向中误差不大于10mm；

桩顶高程控制点的高程中误差不大于 2.5mm。

三、桥涵测量

钻（挖）孔灌注桩测量应符合下列规定：

1、埋设护筒后，桩位中心平面位置允许偏差为20 mm，并测定护筒顶面高程。

2、灌注混凝土后应测定桩位中心坐标，并在桩侧按桩头设计高程测定高程线。

3、承台、墩身、顶帽及垫石平面形状和尺寸应依据桥墩中心纵横十字线放样，高程可采用几何水准或光电测距三角高程测量方法测定。

4、承台模板尺寸的设放限差为40mm，高程设放限差为30mm；墩身模板尺寸测量限差为20 mm，高程设放限差为30mm，模板上同一高程线的测量限差为10mm。

5、顶帽立模前应检查中心十字线的正交性。顶帽模板尺寸的设放限差为10 mm高程精度应符合四等水准测量要求。灌注混凝土前，应检查该墩至两邻墩之跨距。

6、使用全站仪进行承台、墩身、顶帽、垫石放样及模板检查时，应检测后视点坐标，实测坐标与已知坐标的互差应不大于10 mm，且前视距离不应超过后视距离。

架梁测量应符合下列规定：

1、以墩台中心十字线或梁中心线交点（曲线桥）为准，在墩顶上用钢卷尺按设计尺寸放出支座十字线及梁端轮廓线，并用墨线标出。

2、检查垫石面高程。

3、根据架梁方法，进行相应的水文、拖拉滑道、架桥机走行道等项目的测量。

四、隧道及明洞测量

洞内施工中线测设应符合下列规定：

1 采用导线测设中线点，一次测设不应少于3 个，并相互检核。

2 采用独立中线测设中线点，直线上应采用正倒镜法延伸直线；曲线上宜采用偏角法测设。 3 衬砌用的临时中线点宜每10m加密一点。直线上应正倒镜压点或延伸；曲线上可用偏角法测设。

4 掘进用的临时中线点可采用串线法延伸标定。串线长度直线段不大于30m，曲线段不大于20m。

5 全断面开挖的施工中线可先用激光导向，后用全站仪、光电测距仪测定。

6 采用上下半断面施工时，上半断面每延伸90～120m 时应与下半断面的中线点联测，检查校正上半断面中线。

洞外控制网设计应符合下列要求：

1 平面控制网应根据洞外允许横向贯通中误差，结合实际布网条件进行贯通误差估算。 2 高程控制网应根据勘选的地表高程路线长度和洞内贯通长度，按高程贯通误差估算公式分别估算洞外、洞内高程贯通误差，确定洞外高程控制测量精度。

五、总结

根据我平时在使用全站仪的方法和《测规》的对比学习过程中，我发现我们在一些基本的使用方法上都存在一些问题。在今后使用全站仪和水准仪测量的过程中，我总结了以下几点我需要注意的问题。

全站仪使用后交法测量时应尽量3、4个点同时后交；仪器应按照顺时针旋转；点于点之间的角度应尽量满足30°到150°之间；用长边来控制短边；使用正倒镜压点；前视距离不应超过后视距离等，这些问题都是我们平时没有注意，甚至是知道这些问题也为了方便而忽略的问题。

在施工过程中的测量控制重点抓的就是细节。测量工作没有小事，无论多么简单的操作工序都应该把它看作一项大事去做，就如总工王晓鹤所说，要始终有一种畏惧感。图纸是施工的依据，规范是过程控制的标尺。从这次看《测规》的过程中，反应出以后的工作中，我们应该经常翻阅图纸，查看规范，施工现场严格按照图纸尺寸进行坐标和高程的放样。现场测量放样使用的坐标、高程、尺寸数据都要作到提前准备，对最终数据进行至少两遍的复合检查,测量双检制要严格的执行。严格杜绝因为人为的疏忽大意而造成的不必要的错误。只要我们认真一点，错误就不会发生，误差就会小一点。把误差减到最小，就能把工程干到最好。我们每一次测量所发生的数据及当时的情况都做了详细的记录，做到有据可查。

张 凌

20xx年x月x日