人教版八年级下册反比例函数全章

知识点和典型例习题

知识点一：概念

一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

注意：①分母中含有自变量，且指数为1.

②比例系数

③自变量的取值为一切非零实数。

知识点二：表达式的三种形式

①   ②③　

知识点三：反比例函数的图像与性质

1.反比例函数的图像是双曲线。

要点：①双曲线不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。②反比例函数的图像是是轴对称图形，对称轴是。

2. 当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，值随的增大而减小（越大越小，越小越大）。

3.当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，值随的增大而增大（越大越大，越小越小）。

4.反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意一点向轴与轴作垂线，所得矩形面积为。

知识点四：用待定系数法确定反比例函数的解析式

只需一对对应值或图像上一个点的坐标可求出

知识点五；“成反比例”与“反比例函数”的关系

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

经典例题透析   类型一： 反比例函数的概念

（一）反比例函数的定义

【例题】1、下列函数中是反比例函数的有          （填序号）

2、在函数中，自变量x的取值范围是    

（二）反比例函数的意义

【例题】1、k为何值时,是反比例函数。

2.如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

3.已知函数（1）m是何值时，它是反比例函数？（2）它的图像位于哪些象限？y值怎样随x的变化而变化？

【练习】1.反比例函数y＝的图象每一象限内，y随x的增大而增大，则n＝_______．

2.如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

3、使函数y＝（2m²－7m－9）x^m－9m＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y随x的增大而减小，则可列方程（不等式组）为                 ．

（三） “成反比例”的含义

【例题】1.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值(3)y＝-2时，x的值。

【练习】1.已知y=y₁+y₂，y₁是关于的正比例函数，y₂是关于的反比例函数；当时，,当时，；（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当时，求y的值。

2.已知y＝y₁－y₂，y₁与成正比例，y与x成反比例，且当x＝1时，y＝－14，x＝4时，y＝3．求(1)y与x之间的函数关系式．(2)自变量x的取值范围．(3)当x＝时，y的值．

类型二：确定反比例函数的解析式

【例题】当自变量取值为—1时，函数值为2，求反比例函数的关系式。

【练习】1、已知变量y与x成反比例，并且当x=3时，y=7.求y与x之间的函数关系式；

2函数的图像经过点，则k的值为     。）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x

轴的距离为3，到y轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．

类型三：反比例函数的图像及性质

【例题】1.已知反比例函数的图像过点（-3，-12），且双曲线位于第二、四象限，求m的值。

2、已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的取值范围是         。

3.如下左图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．

【练习】1、当a取何值时，函数为反比例函数，且其图像同一支上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大，写出此时的函数关系式，它的图像在哪个象限。

2．如上右图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则          ．

类型四：同一坐标系画一次函数与反比例函数图像

【例题】1、如图，函数在同一坐标系中，图象只能是下图中的（    ）

2．已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）．

【练习】1函数的图象经过（，，则函数的图象是（       ）

 

2、在同一坐标系中，函数和的图像大致是（       ）

     A            B             C           D

类型五：比较函数值或自变量的大小

【例题】1.在反比例函数的图像上有三点

，，，，， 。若则下列各式正确的是（   ）

A． B．C． D．

2. 若点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）都是反比例函数的图象上的点，并且x₁＜0＜x₂＜x₃，则下列各式中正确的是（　　）A、y₁＜y₂＜y₃

 B、y₂＜y₃＜y₁   C、y₃＜y₂＜y₁    D、y₁＜y₃ ＜y₂

【练习】1.已知点A（-3，y₁），B（-2，y₂），C（3，y₃）都在反比例函数y=的图象上，则（  ）．  A．y₁<y₂<y₃ B．y₃<y₂<y₁  C．y₃<y₁<y₂    D．y₂<y₁<y₃

2．已知双曲线经过点（－1，3），如果A()，B()在该双曲线上，且＜＜0，那么  

3点A（a,b）、B（a－1，c）均在函数的图象上，若a＜0，则ｂ与ｃ的大小关系是（　　）A、ａ＞ｃ

B、ｂ＜ｃC、ｂ＝ｃ　D、ｂ和ｃ的大小关系不能确定

4、已知反比例函数的图像上有两点

A(，)，B(，)，，则的值是（  ）（A）正数（B）负数（C）非正数（D）不能确定

5、设有反比例函数，（x₁，y₁）、（x₂，y₂）为其图象上两点，若x₁＜0＜x₂，y₁＞y₂，则k的取值范围            。

类型六：反比例函数与一次函数的综合问题

【例题】1．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数

y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于

A(-2，1)、B(1，n)两点。求上述反比例函数和一次函数的表达式；

 

2. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

【练习】1．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

2.如图，已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数y=的图象上，直线AB分别与x轴，y轴相交于C、D两点，（1）求直线AB的解析式．（2）C、D两点坐标．

（3）S_△AOC：S_△BOD是多少？

                    

3．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；（3）△AOB的面积．

类型七：反比例函数与实际问题

【例题】1．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa) 是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其图像如图所示。(1)求p与S之间的函数关系式；(2)求当S=0.5m²时,物体承受的压强p。

2.某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？

【练习】1． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

2.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？

 

第二篇：反比例函数知识点总结

反比例函数

【基础知识】

一、反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件； ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．

二、反比例函数的图像画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第

二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x?0，函数值y?0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围： 3．图像：

（1）图像的形状：双曲线，

像的 弯曲度越大。

（2）图像的位置和性质： 当

当 越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。

越小，图时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。

，） （3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（在双曲线的另一支。图像关于直线

）和（，对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上。．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

（2）直线

当与双曲线的关系： 时，两图像必有两个交点，且这两个交时，两图像没有交点；当

点关于原点成中心对称．

四、实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

五、充分利用数形结合的思想解决问题