高中数学必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

③；

④．

3、三角形面积公式：．

4、余 定理：在中，有，，

．

5、余弦定理的推论：，，．

6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则为直角三角形；

②若，则为锐角三角形；③若，则为钝角三角形．

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

13、若等差数列的首项是，公差是，则．              

 通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．

14、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。

15、等差数列的前项和的公式：①；②．

16、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，）．

17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

18、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

19、若等比数列的首项是，公比是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；④．

21、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列的前项和的公式：．

      时，，即常数项与项系数互为相反数。

23、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．   ③，，成等比数列．

24、与的关系：

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q为相除后的常数，列两个方程求解；

2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；

②若化简后为形式，可用叠加法求解；

③若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）

3、由求和公式求通项公式：

①    ②   ③检验，若满足则为，不满足用分段函数写。

4、其他

  （1）形式，便于求和，方法：迭加；

例如：

有：

（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；

例如：，则，即为以-2为公差的等差数列。

（3）形式，，方法：构造：为等比数列；

例如：，通过待定系数法求得：，即等比，公比为2。

（4）形式：构造：为等比数列；

（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；

因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足

②若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相乘约掉。

第三章：不等式

1、；；．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．

①若，，则点在直线的上方．

②若，，则点在直线的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线．

①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．

②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．

10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

12、均值不等式定理： 若，，则，即．

13、常用的基本不等式：

①；

②；

③；④．

14、极值定理：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

 

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高中数学必修5知识点

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

13、若等差数列的首项是，公差是，则．              

 通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．

14、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。

15、等差数列的前项和的公式：①；②．

16、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，）．

17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

18、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

19、若等比数列的首项是，公比是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；④．

21、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列的前项和的公式：．

      时，，即常数项与项系数互为相反数。

23、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．   ③，，成等比数列．

24、与的关系：

一些方法：

数列求通项的方法：

1、由递推公式求通项公式：

①若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；

②若化简后为形式，可用叠加法求解；

③若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）

2、由求和公式求通项公式：

①    ②   ③检验，若满足则为，不满足用分段函数写。

3、形式，便于求和，方法：迭加；

例如：

有：

数列求和的方法：

①倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；

③裂项相消：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；

④分组求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；

第三章：不等式

1、；；．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

4、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．

线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

5、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

6、均值不等式定理： 若，，则，即．

7、常用的基本不等式：

①；

②；

③；④．

8、极值定理：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

 

第三篇：高一数学必修一知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.   集合的含义

2.   集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

u  注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3＞2} ,{x| x-3＞2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4） Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集   含有有限个元素的集合

(2) 无限集   含有无限个元素的集合

(3) 空集     不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B  (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC

④ 如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

u  有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是                                   （   ）

A某班所有高个子的学生  B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c }的真子集共有      个 

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是          .

4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是       

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有      人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=               .

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

   (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，  

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

u  相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法：

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1)   平移变换

2)   伸缩变换

3)   对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数  

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数。

  

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f(x1)2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x12；

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

2确定f(－x)与f(x)的关系；

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)   凑配法

2)   待定系数法

3)   换元法

4)   消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2 利用图象求函数的最大（小）值

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴        ⑵   

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_  _  

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是        

4.函数 ，若，则=           

5.求下列函数的值域：

⑴           ⑵ 

(3)               (4)

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=             。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=   

  在R上的解析式为                       

9.求下列函数的单调区间：

 ⑴   ⑵  ⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中＞1，且∈*．

u  负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

u  0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·                                          ；

（2）                                             ；

（3）                                           ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

说明：1 注意底数的限制，且；

2 ；

3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数；

2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

u  指数式与对数式的互化

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

1 ·＋；

2 －；

3   ．

注意：换底公式

  （，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

例题：

1. 已知a＞0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是　　　　　　 (　 )

　　　　　　　

2.计算： ①         ;②=        ；=         ;

③  =        

3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为           

4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=       

5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型