一次函数知识点总结:

一次函数：主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。

函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常

数，k≠0），当x增加m，y增加km。

2.k决定函数图象的倾斜方向， b为函数图象与y轴交点的坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；

当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点

（0，b）。

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤：

（1）列表.

（2）描点；一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（?b，0）两点画直线即可。 k

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（?

图像都是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b=0，y与x成正比例)：正比例函数的图像通过原点O（0，0）

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大；

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y随x的增大而增大；

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

1 b，0）正比例函数的k

4．两条直线的特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，两函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，两函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 y1=k1x+b1， y2=k2x+b2 组成的二元一次方程组，方程组的解 (x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意2点的连线所在的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0)

7. y=k（x-n）+b就是y=kx+b向右平移n个单位；y=kx+b-m就是y=kx+b向下平移m个单位。左加右减，上加下减。

二次函数的图象与性质

1、二次函数的开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大（小）值

y = ax2， a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

对称轴x=0 （y轴），顶点（0，0） ，当a>0时，在对称轴左侧，y

随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；x=0时，

y最小=0；当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴

右侧，y随x的增大而减小； x=0时，y最大=0 。

y = ax2+c，对称轴 x=0 （y轴），顶点（0，c）当a>0时，当x=0时，y最小=c；

当a<0时，当x=0时，y最大=c；

y = a（x-h）2，对称轴x=h ，顶点（h，0）， 当a>0时，当x=h时，y最小=0；

当a<0时，当x=h时，y最大=0；

y = a（x-h）2 +k ，对称轴x=h ，顶点（h，k） ，当a>0时，当x=h时，

y最小=k；当a<0时，当x=h时，y最大=k；

bb4ac?b2by = ax+bx+c ，对称轴x= ?，顶点（?） 当a>0时，当x=? 4a2a2a2a2

4ac?b24ac?b2b时，y最小=；当a<0时，当x=?时，y最大=； 4a4a2a

2

2、二次函数的解析式

二次函数解析式常见有三种形式：

①一般式：y = ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）

②顶点式：y = a（x-h）2 +k（a、h、k是常数，且a≠0）

③交点式：y=a（x-x1）（ x-x2）（a、x1、x2是常数，且a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）。

3、二次函数y = ax2 、y = ax2+c、y = a（x-h）2 以及y = a（x-h）2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成顶点式y = a（x-h）2 +k。

4、a，b，c为常数

①a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

②二次函数图像是轴对称图形。对称轴与二次函数图像唯一的交点，为二次函数图像的顶点。b=0,对称轴是y轴；a、b同号，对称轴在y轴左侧（左同）， a、b异号，对称轴在y轴右侧（右异）。 b③二次函数图像有一个顶点，当?=0时，顶点在y轴上；当b2?4ac=0时，2a

顶点在x轴上。

④常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）。 二次函数图像与x轴交点个数

⑤二次函数图像与x轴交点个数当 b2?4ac>0时，二次函数图像与x轴有

2个交点。当b2?4ac=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。当b2?4ac<0时，二次函数图像与X轴无交点 。

反比例函数知识点归纳

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为

这一限制条件； ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数

点（关于原点对称）．

3 的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取

反比例函数及其图象的性质：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点。

当时，图象的两支分别位于一、三象限；

在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

，）在双（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（曲线的另一支上．

图象关于直线

在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（△PAO和△PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有△PQC的面积为．

图1 图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2

）直线

与双曲线

的关系：当时，两图象没有交点；当

时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

4

 

第二篇：初中数学一次函数知识点总结

一次函数

一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常

数，k≠0）， ∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函

数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一

次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x

的一次函数

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤：

（1）列表.

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2

点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。

当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） ）

③点斜式 y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④两点式 (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点） ⑤截距式 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

⑥实用型 （由实际问题来做）

公式

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与

y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) x y +， +（正，正）在第一象限 - ，+ （负，正）在第二象限 - ，- （负，负）在第三象限 + ，- （正，负）在第四象限

8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

10. y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位