二次函数知识点总结——题型分类总结

一、二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是 .

222 ①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x；

2 ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x。

22、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t+2t，则t＝4秒时，该物体所经过

的路程为 。

223、若函数y=(m+2m－7)x+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。

m －24、若函数y=(m－2)x+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为 。

6、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

2二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)+k，则对称轴为： ，最值为： ；

如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为： ，最值为： ；

如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为： ，最值为： 。

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝

23．抛物线y＝x＋3x的顶点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

24．若抛物线y＝ax－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

25．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax＋bx＋c( )

A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴

C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴

126．已知抛物线y＝x＋(m－1)x－ 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 4

27．抛物线y=x+2x－3的对称轴是。

8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝

n9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口

________.

10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.

11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝。

12．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。

2三、函数y=ax+bx+c的图象和性质

21．抛物线y=x+4x+9的对称轴是 。

22．抛物线y=2x－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

12122（1）－2x+1 ； （2）y=－3x+8x－2； （3）y=－ x+x－4 24

225．把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x－3x+5，试求b、

c的值。

26．把抛物线y=－2x+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，

若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

四、函数y=a(x－h)的图象与性质

2

1．填表：

22．已知函数y=2x,y=2(x－（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

222（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x得到抛物线y=2(x－4)和y=2(x+1)？ 23．试写出抛物线y=3x经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

2（1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。 3

124．试说明函数－3) 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。 2

125．二次函数y=a(x－h)的图象如图：已知a=，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。 2

五、二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ； 当x=1时，函数有最 值是 。

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；

则当x＝1时,y的值为 。

3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .

154.已知二次函数y=－x2+3x+ 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，则y1,y2,y3的大小关系22

为 .

六、二次函数的平移

记法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)+k，

平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减，对y 。

36.抛物线y= － x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 2

27.抛物线y= 2x， ，可以得到y=2(x+4}2－3。 8.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

29.如果将抛物线y=2x－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

10.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .

211.将抛物线y＝ax向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛

物线的关系式为 _. 2

七、函数的交点

11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

12.

直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有

八、函数的的对称

13.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。

14.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a= b= c=

九、函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（ ）

A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．a+b+c> 0 B．b> -2a

C．a-b+c> 0 D．c< 0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论：

①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0；其中正确的为（ ）

A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能（ ）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么

Cabc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋

c

四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

7.

在同一坐标系中，函数

y= ax2

+c

与

y=

c

x

图象可能是图所示的

( )

A B C D

8.

反比例函数y= k2

x 的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx-k2x-1c的图象大致为图中的（ ）

A B C D

9.反比例函数y= k

x 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（

A B C D

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中：正确的个数是（ ）

①a，b同号； ②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0；

A．1 B．2 C．3 D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

） ）

十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1. 如果二次函数y＝x＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）

22. 二次函数y＝x-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

23. 抛物线y＝－3x＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )

A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

24. 如图所示，二次函数y＝x－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C，

则△ABC的面积为( )

A.6 B.4 C.3 D.1

4925. 已知抛物线y＝5x＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m的值为( ) 25

A.－2 B.12 C.24 D.48

26. 若二次函数y＝(m+5)x+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是

27. 已知抛物线y＝x-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。 2

十一、函数解析式的求法

（一）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax+bx+c，然后解三元方程组求解；

1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

（二）、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式：

2y=a(x－h)+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

（三）、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。

27．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。

228．若抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析

式 。

29．抛物线y=2x+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝ ，c＝ .

10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。

11．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式

（1）当x=3时，y最小值=－1，且图象过（0，7）

3（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x= 2

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= －3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

212．已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

11113．知二次函数图象顶点坐标（－3）且图象过点（2， ），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。 22

14．已知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

115．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？ 2

16．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。 2

117．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － +2上，求函数解析式。 2

十二、二次函数应用

(一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式；

(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

 

第二篇：二次函数知识点总结

1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2的性质

（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

2

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）.

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

b4ac?b2

，k?4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中h??. 2a4a

2

2

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④

2

y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

2

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

b?4ac?b2?2

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是??

2a?4a?

bb4ac?b2

（?），对称轴是直线x??.

2a2a4a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称

2

2

轴是直线x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛

物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线

x??

bbb

，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③?0

aa2a

（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

2

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

2

①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

b

?0. a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

2

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

2

（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判

定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

2

（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组

y?kx?ny?ax?bx?c

2

?l与G有两个交点; ②方程组只有

一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于

2

x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故 bc

x1?x2??,x1?x2?

aa

AB?x1?x2?

x1?x22

b2?4ac?b?4c2

?x1?x2?4x1x2???????

aaa?a?

2