二次函数知识点总结
二次函数知识点:
1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a、b、c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b、c可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a、b、c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二次函数的基本形式
y?a(x?h)2?k的性质:
总结:
二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a(x?h)?k,确定其顶点坐标(h,k); ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:
2
2
向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h<0)】 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成“自变量加减左右移,函数加减上下移”.
二次函数y?ax?bx?c的性质 对称轴为x??
2
b2a
,顶点坐标为(?
b2a
,
4ac?b4a
b2ab2a
2
)
1.当a?0时,抛物线开口向上,. 当x??
b2ab2a
时,y随x的增大而减小;当x??
b2ab
时,y随x的增大而增大;当x??
时,ymin?
4ac?b4a
2
.2.
当a?0时,抛物线开口向下, 当x??
时,y随x的增大而增大;当x??
2a
时,y随x的增大而减小;当x??
y时,
ymax?
4ac?b4a
2
.
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0);
2. 顶点式:y?a(x?h)?k(a,h,k为常数,a?0),其中h??
2
b2a
4a
3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
,k?
4ac?b
2
;
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:
① 当??b2?4ac?0时,图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2),其中的x1,x2是一元二次方程
ax?bx?c?0(a?
0)的两根.这两点间的距离AB?|x1?x2|?
2
|a|
.
② 当??0时,图象与x轴只有一个交点;
③ 当??0时,图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0;
2'
当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y?0.
2
2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a、b、c的符号,或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
2
一、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
二、二次函数的性质
1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
三、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式:(,,为常数,);
3. 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
四、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
五、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有三种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
2. 关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
3. 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点, 则的值是
2. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。
3. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
例1 (1)二次函数的图像如图1,则点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(1) (2)
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
例3、 “已知函数的图象经过点A(c,-2),
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3)
2. 把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.
C. 或 D. 或
4函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
5.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题
7.已知抛物线y=-2(x+3)²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.
8.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当<0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。
9. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
10.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使:5 :4的点P的坐标。
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