导数知识点

一、导数相关概念

1．导数

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是          (       )

    A．3               B．2                 C．1                 D．0

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

例1：下列求导运算正确的是                                          (       )

A．(x+               B．(log₂x)′=  

C．(3^x)′=3^xlog₃e                  D． (x²cosx)′=-2xsinx  

例2：设f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x) ＝ f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₅(x)＝      (       )

A．sinx　        B．－sinx　     C．cosx           D．－cosx

4．导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。

例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是  (       )

A．  (-3,0)∪(3,+∞)               B．  (-3,0)∪(0, 3)

    C．  (-∞,- 3)∪(3,+∞)            D．  (-∞,- 3)∪(0, 3)

5.复合函数的导数

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：

分解——>求导——>回代。

法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.

练习：求下列各函数的导数：

 （1）        （2）

 （3）    （4）

二、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有，则为常数。

例：函数是减函数的区间为 (       )

A．   B．      C．             D．（0，2）

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

例：函数已知时取得极值，则= (       )

A．2        B．3             C．4             D．5

3．最值：

在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。

（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是          .

4．定积分

（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

基本的积分公式：

＝C；

＝＋C（m∈Q， m≠－1）；

dx＝ln＋C；

＝＋C；

＝＋C；

＝sinx＋C；

＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①（k为常数）；

②；

③（其中a＜c＜b。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。

课后练习

1．求下列函数导数

（1）   （2）  （3）

（4）y=            （5）y＝

2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（     ）

A．    B．   C．   D．

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（     ）

 （A）   （B）  （C）   （D）

4．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（    ）

A．f（0）＋f（2）<2f（1）             B. f（0）＋f（2）£2f（1）

C．f（0）＋f（2）³2f（1）             D. f（0）＋f（2）>2f（1）

5．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　   ）

A．1个        B．2个           C．3个            D． 4个

6．在区间上的最大值是（   ）

(A)－2        (B)0                 (C)2                (D)4

7．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

8．计算下列定积分的值

（1）

（2）；

（3）；

（4）；

8.已知的值是（  ）

     A.             B. 2     C.        D. －2

9.函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（  ） 

A.                 y          

B.                            

C.                            

D.                  O  1  2  3  4       x 

10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是          

A．(－3,0)∪(3,+∞)                  B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)              D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

11.已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.

12.已知函数.

（1）求这个函数在点处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

13.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

14.函数的一个单调递增区间是

A.    B.    C.     D.

15.已知函数

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是                                    .

(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是                              .

16.若函数，当时，函数极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

17.已知函数，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

 

第二篇：导数复习知识点总结

导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

    （2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|

导数应用

1.单调性  单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，

如果，则为增函数；如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有，则为常数；

2．极点与极值：  曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：   一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?在(a，b)内的极值；    ②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）   （2）  （3）

（4）y=            （5）y＝

2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（     ）

A．    B．   C．   D．

3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（     ）

 （A）   （B）  （C）   （D）

4．半径为r的圆的面积S(r)＝r²,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r²)`＝2r  1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于

1的式子：                             ；

2式可以用语言叙述为：                                   。

5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是                      。

6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（    ）

A．f（0）＋f（2）<2f（1）             B. f（0）＋f（2）£2f（1）

C．f（0）＋f（2）³2f（1）             D. f（0）＋f（2）>2f（1）

7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　   ）

A．1个        B．2个           C．3个            D． 4个

8．已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

9．在区间上的最大值是（   ）

(A)－2        (B)0                 (C)2                (D)4

10．设函数f(x)=

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

14．（1）一物体按规律x＝bt³作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

典型例题

一 导数的概念与运算

EG：如果质点A按规律s=2t³运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（   ）

A. 6m/s            B. 18m/s                C. 54m/s          D. 81m/s

变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，

都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

EG：已知的值是（  ）

       A.             B. 2     C.        D. －2

变式1：（    ）

       A．－１ Ｂ．－2  C．－3   D．1

变式2：           （    ）

       A．  B．    C．  D．

根据所给的函数图像比较

变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（  ） 

A.                 y           

B.                            

C.                            

D.                  O  1  2  3  4       x 

EG：求所给函数的导数：

。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是                 

A．(－3,0)∪(3,+∞)                     B．(－3,0)∪(0, 3)

C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)                 D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

EG：已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.

变式1：已知函数.

（1）求这个函数在点处的切线的方程；

（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(     )

A.     B.      C.       D. 1

EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

变式1：函数的一个单调递增区间是

A.    B.    C.     D.

变式2：已知函数

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是                                    .

(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是                              .

变式3： 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

EG：求函数的极值.

求函数在上的最大值与最小值..

变式1： 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.

变式3：若函数，当时，函数极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．

变式4：已知函数，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

EG：利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：，

变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

EG： 函数若恒成立,求实数的取值范围

变式1:设函数若恒成立，求实数的取值范围.

变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，

(1)若t已知,求切线PQ的方程   (2)求的面积的最大值

变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

变式4:某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价

的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？

实战训练

1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f ¢(x)的图象可能为(　)

2. 已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为(   )

(A)0                        (B)1                        (C)2                        (D)3

3. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.

4. 函数在下面哪个区间内是增函数（  ）.

                    

5. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于(    )

(A)6            (B)0          (C)5                   (D)1

6. 函数f(x)＝x³－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是(   )

(A)1，－1           　(B)3，-17                 (C)1，－17       (D)9，－19

7.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.

8. 设函数f (x)=x³+ax²+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x³+ax²+bx的单调递减区间为          . 

9．（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则              

10．（07湖南）函数在区间上的最小值是            

11．（07浙江）曲线在点处的切线方程是     9．. 已知函数

（Ⅰ）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；

（Ⅱ）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。

12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

实战训练B

1．（07福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（    ）

A．                 B．

C．                 D．

2．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（    ）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

3．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（   ）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

4．（07江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（     ）

A．                 B．               C．           D．

5．（07江西）5．若，则下列命题中正确的是（　　）

A．    B．    C． D．

6．（07江西）若，则下列命题正确的是（   ）

A．           B．           C．           D．

7．（07辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（    ）

A．0是的极大值，也是的极大值

B．0是的极小值，也是的极小值

C．0是的极大值，但不是的极值

D．0是的极小值，但不是的极值

8．（07全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（   ）

A．           B．           C．            D．

9．（07全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ）

A．1                    B．2                     C．3                     D．4

10．（07浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（    ）

11． (07北京)是的导函数，则的值是      

12．（07广东）函数的单调递增区间是        

13．（07江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则             

14．（07福建）设函数．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．

15．(07广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

 

第三篇：高考复习导数知识点总结(文科使用)

导数知识点

一．考纲要求

二．知识点

1.导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

2.、几种常见函数的导数

①；②；    ③；④；

⑤；⑥；    ⑦；⑧

3.导数的运算法则

（1）.  （2）.  （3）.

   4. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）

当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0^①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点^②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数，使=0，但不是极值点.

②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.

极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

5.导数与单调性

（1）  一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；

（2）对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；

（3）利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。