来源：文都教育

导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)dydf(x)?y |x?x0(或|x?x0)?f'(x0)?lim?lim?lim?x?0?x?0x?0dxdx?x?xx?x0

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

f?'(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x0?xx?x0

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0). ?lim?x?x?xx?x00f?'(x0)?lim??x?0

f'(x0)存在?f?'(x0)?f?'(x0).

（3）导数的几何应用

曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程：y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).

法线方程：y?f(x0)??1(x?x0). f'(x0)

2．基本公式

（1）C'?0 （2）(x)?axa'a?1

（3）(ax)'?axlna（特例(ex)'?ex）（4）(logax)'?1(a?0,a?1) xlna

（5）(sinx)'?cosx （6）(cosx)'??sinx

（7）(tanx)'?sec2x （8）(cotx)'??csc2x

（9）(secx)'?secxtanx （10）(cscx)'??cscxcotx

（11

）(arcsinx)'? （12

）(arccosx)'?

（13）(arctanx)'?11(arccotx)'?? （14） 1?x21?x2

（

15[ln(x??

3．函数的求导法则

（1）四则运算的求导法则

uu'v?uv'(u?v)'?u'?v' (uv)'?u'v?uv' ()'? vv2

（2）复合函数求导法则--链式法则

设y?f(u),u??(x)，则y?f(?(x))的导数为：[f(?(x))]'?f'(?(x))?'(x).

sin21

x例5 求函数y?e的导数.

（3）反函数的求导法则

设y?f(x)的反函数为x?g(y)，两者均可导，且f'(x)?0，则

g'(y)?11?. f'(x)f'(g(y))

（4）隐函数求导

Fx'设函数y?f(x)由方程F(x,y)?0所确定，求y'的方法有两种：直接求导法和公式法y'??'. Fy

（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数

4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数.

常用的高阶求导公式：

（1）(ax)(n)?axlnna(a?0) 特别地，(ex)(n)?ex

（2） (sinkx)

（3）(coskx)(n)?knsin(kx?n) 2?kncos(kx?n) 2?(n)?

（4）[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)! n(1?x)

（5）(x)k(n)?k(k?1)(k?2)(k?n?1)xk?n

n

（6）莱布尼茨公式：(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv，其中u(0)?u,v(0)?v

k?0

第二节 微分

1．定义

背景：函数的增量?y?f(x??x)?f(x).

定义：如果函数的增量?y可表示为?y?A?x?o(?x)，其中A是与?x无关的常数，则称函数y?f(x)在点x0可微，并且称A?x为?x的微分，记作dy，则dy?A?x.

注：?y?dy,?x?dx

2．可导与可微的关系

一元函数f(x)在点x0可微，微分为dy?A?x?函数f(x)在x0可导，且A?f'(x0).

3．微分的几何意义

4．微分的计算

（1）基本微分公式dy?f'(x)dx.

（2）微分运算法则

②四则运算法则

uvdu?udv d(u?v)?du?dv duv?vdu?udv d()?vv2

②一阶微分形式不变

若u为自变量，y?f(u),dy?f'(u)?u?f'(u)du；

若u为中间变量，y?f(u)，u??(x)，dy?f'(u)?'(x)dx?f'(u)du.

 

第二篇：高等数学第二章导数知识总结

高等数学第二章知识总结

在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。微分和导数的关系

求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.

函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.

一.

(1) 单侧导数 即左 右导数.

函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等.

(2) 可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.

注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.

◆求导数的方法有:

(1) 利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极

限）

(2) 利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的

实际问题.

(3) 利用初等函数的求导公式.(在书P59)

(4) 利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数

导数的倒数.)

(5) 利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)

(6) 利用隐函数求导法

(7) 利用参数方程确定函数的求导法.

(8) 利用分段函数求导法.

(9) 利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连

续性与可导性.

二.高阶导数

高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.

方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.

间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强. 常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.

■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。

三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数 什么是隐函数?

如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数

F(x,y)=0

从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化. 有些隐函数不易显化,甚至不能显化.

隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）

(1) 把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)

即可。再在方程两边分别对X求导.

(2) 从求导后的方程中求出y’.

(3) 在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一

以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)

对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.

四.函数的微分.

可微就可导,可导就可微.

求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.

微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.

常用的微分公式在书P76.

五.微分的应用.

1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.