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16章 分式复习（一）
一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式
A
子叫做分式。 B
11a2?b2
例1.下列各式，，x+y，，-3x2，0?中，是分式的有（ ）
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，
AA?CAA?C分式的值不变。（C?0） ??
BB?CBB?C
四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
11
x?y
a
?x?15a?b
个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x取何值时有意义。
2x?13?x2（1）3x?2； （2）2x?3
。
例3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）。
1x3x?2x?1 B．2x?1 C．1x D．x2
A．22x2?1
例4．当x______时，分式2x?13x?4无意义。当x_______时，分式x2?1x2?x?2
的
值为零。
例5.已知115x?3x-y=3，求xy?5y
x?2xy?y
的值。
例6.不改变分式的值，使分式1的各项系数化为整数，分子、分母应3x?19y乘以（? ）。
例7.不改变分式2?3x2?x
?5x3?2x?3
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，
则是（? ）。
8.分式4y?3xx2?1x2?xy?y2
例a2?2ab4a，x4?1，x?y
，ab?2b2中是
最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）x2?6x?9m2?3m?2
x2?9； （2）m2?m
例10.通分：（1）x6ab2，y9a2bc； （2）a?1
6a2
?2a?1，a2?1
1
例11.已知x2+3x+1=0，求x2+1
x
2的值．
例12.已知x+1x=3，求x2
x4?x2?1
的值．
五、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a?c?ac;a?c?a?dad
(anb)?anb
n
bdbdbdbc?bc
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
aba?bacadbcc?c?c,b?d?bd?bd?ad?bc
bd
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
例13.当分式121
x2?1-x?1-x?1
的值等于零时，则x=_________。
例14．已知a+b=3，ab=1，则ab
b+a
的值等于_______。
例15.计算：x?2x?x2?2x-1
x2
?4x?4
。
计算：x2
例16.x?1
-x-1
例17.先化简，再求值:a3a?3-a?63a2?3a+a，其中a=2
。
2
16章 分式复习（二）
例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是_____ _____。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即a0
?1(a?0)；
当n为正整数时，a?n
?
1
a
n （a?0) 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：am
?an
?am?n
；
（2）幂的乘方：(am)n
?amn
;
（3）积的乘方：(ab)
n?anbn；
（4）同底数的幂的除法：am
?an
?a
m?n
( a≠0)；
（5）商的乘方：(anan
b)?b
n(b≠0)
八、科学记数法：把一个数表示成a?10n的形式（其中1?a?10，n是整
数）的记数方法叫做科学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n?1。2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。 例18.若102x
?25,则10?x
等于( )。
A.?1111
5 B.5 C.50
D.625
例19.若a?a?1?3,则a2?a?2等于( )。 A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
?1
例20.计算:(1)4?1?3?(?62)0???3?
? (2)2a?3b?1?
?xy?2
3?2?
?3
例22.计算?3?10?5?2??
3?10?1
?
2
?___________。
例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_____ ____。 例24．计算
3xx?x?4y+y4y?x-7y
x?4y
得（ ） A．-
2x?6y2x?x?4y B．6y
x?4y
C．-2 D．2 25.计算a-b+2b2
例a?b
得（ ）
a?b?2b2
A．a2?b2a?b
B．a+b C．a?b D．a-b
九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 3、解分式方程的步骤：
（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）、解这个整式方程。
3
（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例26.解方程。
(1)322x?x?6 （2）x?1?3x?1?6
x2?1
（3）25?x?11?x?0 （4）63x?8?1?4x?7
8?3x
例27. X为何值时，代数式2x?9x?3?1x?3?2
x
的值等于2？
3例28.若方程2x?4?2
x?2?1
有增根，则增根应是（ ）
十、列方程应用题
（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记答。 （二） 应用题的几种类型：
1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
4
3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v水。
例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
5
第十六章 分式知识点及典型例子
一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B
例1.下列各式
a
?
，
1x?1
，x+y，
5
1a?ba?b
22
，-3x2，0?中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x取何值时有意义。（1）
2x?13x?2
； （2）
3?x
2
2x?3
。
例3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）。 A．
12x?1
B．
x2x?1
C．
2x?13x?4
3x?1x
2
D．
x
2
2
2x?1
x?1x?x?2
2
2
例4．当x______时，分式
1x
1y
无意义。当x_______时，分式的值为零。
例5.已知-=3，求
5x?3xy?5yx?2xy?y
的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不
?变。（C?0）
A
A?C
AB
BB?C
?
A?CB?C
四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
1
例6.不改变分式的值，使分式1
3
2?3x?x?5x?2x?3
3
2
x?x?
119
y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。
y
例7.不改变分式
4y?3x4a
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。
2
2
例8.分式，
2
x?1x?1
4
2
，
x?xy?y
x?y
，
a?2abab?2b
2
2
中是最简分式的有（ ）。
m?3m?2m?m
22
例9.约分：（1）
x?6x?9x?9
2
； （2）
例10.通分：（1）
x6ab
2
，
y9abc
1x
22
； （2）
a?1a?2a?1
2
，
6a?1
2
例11.已知x+3x+1=0，求x+例12.已知x+
1x
22
的值． 的值．
=3，求
x
4
22
x?x?1
五、分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
ab?cd?acbd
;ab?cd?ab?dc?adbc
(
ab
)
n
?
ab
nn
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
ac?bc?
a?bacadbcad?bc
,???? cbdbdbdbd
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 例13.当分式
1x?1
2
-
2x?1
-
1x?1
a
b
的值等于零时，则x=_________。 +
ba
例14．已知a+b=3，ab=1，则例15.计算：例16.计算：
x?2x?2x
2
的值等于_______。
-
x?1x?4x?4
2
。
x
2
x?1
-x-1
aa?3
例17.先化简，再求值:
-
a?6a?3a
2
+
3a
，其中a=
32
。
六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即
当n为正整数时，a
?n
a?1(a?0)
；
?
1a
n
（a?0)
七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：a?a?a
m
n
m?n
；
（2）幂的乘方：(a)?a（3）积的乘方：(ab)
a
n
mnmn
;
n
n
m?n
?ab；
m
n
（4）同底数的幂的除法：a（5）商的乘方：()?
b
n
?a?a( a≠0)；
ab
nn
(b≠0)
八、科学记数法：把一个数表示成a?10n的形式（其中1?a?10，n是整数）的记数方
法叫做科学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n?1。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。 例18.若102x?25,则10?x等于( )。 A.?
15
B. C.
5
1150
D.
1625
例19.若a?a?1?3,则a2?a?2等于( )。 A. 9 B. 1 C. 7 D. 11 例20.计算:(1)4
?1
?3??3?1?2
?3?(?6)??? (2)2abxy
3?2?
2
?1
??
?3
例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。 例22.计算?3?10?5???3?10?1??___________。
2
2
例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。 例24．计算
3xx?4y
+
2
x?y4y?x
-
7yx?4y
得（ ） A．-2
2x?6yx?4y
B．
2x?6yx?4ya?ba?b
2
2
C．-2 D．2
例25.计算a-b+
2b
a?b
得（ ） A．
a?b?2ba?b
B．a+b C． D．a-b
九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 3、解分式方程的步骤：
（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）、解这个整式方程。
（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例26.解方程。 (1)
3x?
2x?6
2x?1
3
6
2
（2）
?
例27. X为何值时，代数式
3
?
2x?2
x?1
2x?9
x?112??x?3x?3x
?
（3）
25?x
?
11?x
?0 （4）
63x?8
?1?
4x?78?3x
的值等于2？
例28.若方程
2x?4
?1
有增根，则增根应是（ ）
十、列方程应用题
（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。 （二） 应用题的几种类型：
1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v水。
例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
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