分式知识点总结

1. 分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子2. 分式有意义、无意义的条件:

分式有意义的条件:分式的分母不等于0;

分式无意义的条件:分式的分母等于0。

3. 分式值为零的条件:

当分式的分子等于0且分母不等于0时,分式的值为0。

(分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式为0的条件是A=0,且B≠0.)

(分式的值为0的条件是:分子等于0,分母不等于0,二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值,再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时,就是所要求的字母的值。)

4. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。

用式子表示为 (

注意:(1)“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件;

(2)应用分式的基本性质时,要深刻理解“同”的含义,避免犯只乘分子(或分母)的错误;

(3)若分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一

整式C;

(4)分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分:

和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成

相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分 ),其中A、B、C是整式 叫做分式。

母,这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点:

(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;

(2)如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;

(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。

6.分式的约分:

和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫

做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母

分解因式,然后再约分;

(2)找公因式的方法:

① 当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就

是公因式;

②当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。

易错点:(1)当分子或分母是一个式子时,要看做一个整体,易出现漏乘(或漏除以);

(2)在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前;

(3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母;

7.分式的运算:

分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。 分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。

用式子表示是:

提示:(1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,

然后约去公因式,化为最简

分式;若分子、分母是多项式,先把分子、分母分解公因式,看能否约分,

然后再相乘;

(2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变

(3)分式的除法可以转化为分式的乘法运算;

(4)分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同,即按照从左到右的顺

序,有括号先算括号

里面的;

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,可先确定积的符

号;

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公

因式)或整式的形式。

分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是: (其中

n是正整数)

注意:(1)乘方时,一定要把分式加上括号;

(2)分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂

为正,奇次幂为负;

(3)分式乘方时,应把分子、分母分别看做一个整体;

(4)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解

因式,再约分。

分式的加减法则:

法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

用式子表示为:± =

法则:异分母的分式相加减,先通分,转化为同分母分式,然后再加减。

用式子表示为: ± =± =

注意:(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式时括

号可以省略;

(2)异分母分式相加减,“先通分”是关键,最简公分母确定后再通分,计算时要注意分式中符号的处理,

特别是分子相减,要注意分子的整体性;

(3)运算时顺序合理、步骤清晰;

(4)运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算

乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。

8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即

( ;当n为正整数时,

注意:当幂指数为负整数时,最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9. 整数指数幂:

若m、n为正整数,a≠0,a÷a

又因为a÷am m+nm m+n== -n=am-﹙m+n﹚=a,所以a

-n-n= -n 一般地,当n是正整数时,a

取值范围就推广到全体 =(a≠0),即a(a≠0)是a的倒数,这样指数的n

整数。整数指数幂可具有下列运算性质:(m,n是整数)

(1)同底数的幂的乘法:

(2)幂的乘方:

(3)积的乘方:

(4)同底数的幂的除法:; ; ( a≠0); ;

(5)商的乘方:

0 ;(b≠0) 规定:a=1(a≠0),即任何不等于0的零次幂都等于1.

10. 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

去分母

分式方程的解法:

转化

(1)解分式方程的基本思想方法是:分式方程 -----→ 整式方程.

(2)解分式方程的一般方法和步骤:

①去分母:即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质;

②解这个整式方程;

③检验:把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0的解是原方程的解,使最简公分母等于0

的解不是原方程的解,即说明原分式方程无解。

注意:① 去分母时,方程两边的每一项都乘以最简公分母,不要漏乘不含分母的项;

② 解分式方程必须要验根,千万不要忘了!

解分式方程的步骤 :

(1) 能化简的先化简;(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;

(4)验根.

分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式

方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。

11.含有字母的分式方程的解法:

在数学式子的字母不仅可以表示未知数,也可以表示已知数,含有字母已知数的分式方程的解法,也是去分母,

解整式方程,检验这三个步骤,需要注意的是要找准哪个字母表示未知数,哪个字母表示未知数,还要注意题目的

限制条件。计算结果是用已知数表示未知数,不要混淆。

12.列分式方程解应用题的步骤是:

(1)审:审清题意;(2)找: 找出相等关系;(3)设:设未知数;(4)列:列出分式方程;

(5)解:解这个分式方程;(6)验:既要检验根是否是所列分式方程的解,又要检验根是否符合题意;(7)答:写出答案。

应用题有几种类型;基本公式是什么?

基本上有五种: (1)行程问题 基本公式:路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

(3)工程问题 基本公式:工作量=工时×工效.

(4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.

11.科学记数法:把一个数表示成

叫做科学记数法.

用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为a×10的形式,其中1≤︱a︱<10,n为原整数部分的位数减1;

n的形式(其中,n是整数)的记数方法

用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10的形式,其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0),1≤︱a︱<10.

-n

 

第二篇:分式知识点总结

分式

知识点一:分式的定义

一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。

知识点二:与分式有关的条件

1、分式有意义:分母不为0()    2、分式值为0:分子为0且分母不为0(

3、分式无意义:分母为0()       4、分式值为正或大于0:分子分母同号(

5、分式值为负或小于0:分子分母异号(

知识点三:分式的基本性质

分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。

字母表示:,其中A、B、C是整式,C0。

拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即

注意:在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点四:分式的约分

定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。

步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。

注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。

知识点四:最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。

知识点五:分式的通分

①       分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。

②       分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤:

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;

Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;

Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。

注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。

知识点六:分式的四则运算与分式的乘方

1、分式的乘除法法则:

分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:

分式除以分式:式子表示为 

2、分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子

3、  分式的加减法则:

同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为

注意:加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。

知识点七:整数指数幂

                ★             ★     

)      ★             ★    (

      () (任何不等于零的数的零次幂都等于1)   其中m,n均为整数。

知识点八:分式方程的解的步骤

⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)

⑵解整式方程,得到整式方程的解。

⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。

分式方程应用题解题基本步骤

1、审—仔细审题,找出等量关系。    2、设—合理设未知数。

3、列—根据等量关系列出方程(组)。 4、解—解出方程(组)。注意检验

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