分式及分式的基本性质

知识点一：分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（）

②分式无意义：分母为0（）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

经典例题

1、代数式是（   ）

 A.单项式        B.多项式        C.分式        D.整式

2、在，，，，中，分式的个数为（   ） 

A.1        B.2        C.3        D.4

3、当是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（   ）

   A.          B.        C.       D.

4、当时，分式①，②，③，④中，有意义的是（   ）

   A.①③④        B.③④          C.②④          D.④

5、使分式的值为0，则等于（   ）

A.            B.          C.            D.

6、若分式的值为0，则的值是（   ） 

A.1或－1        B.1             C.－1           D.－2

7、当         时，分式的值为正数.       

 8、当         时，分式的值为负数.

9、当          时，分式的值为1.

知识点三：分式的基本性质

1.分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

经典例题

1、把分式的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（   ）

  A.不变           B.扩大2倍            C.缩小2倍              D.扩大4倍

2、下列各式正确的是（   ）

   A.      B.      C.，（）       D.

3、下列各式的变式不正确的是（   ）

   A.       B.       C.        D.

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

经典例题

1、 约分：①；②

2、化简的结果是（    ）

A、         B、         C、           D、

知识点五：分式的通分

①       分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②       分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、分式，，的最简公分母是（   ）

 A.      B.    C.    D.

2、通分：； 

知识点六:分式的四则运算与分式的乘方

①       分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为:

②       分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

③       分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④       分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

经典例题

1、下列运算正确的是（   ）

A.     B.     C.     D.

2、计算：①   ②

知识点七:整数指数幂

①       引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即

★    ★   ★    ★  （）

★      ★  （）  

 ★ （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

科学记数法

若一个数x是0<x<1的数，则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=

 

若一个数x是x>10的数则可以表示为 （ ，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如 120 000 000=

1、计算：①；②.

2、化简的结果是（   ）

A.        B.        C.        D.

3、化简的结果是（   ）

A.        B.        C.        D.

4.计算： ①；     ②；    ③.

知识点八：解分式方程的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

知识点九:列分式方程

基本步骤

①       审—仔细审题，找出等量关系。

②       设—合理设未知数。

③       列—根据等量关系列出方程（组）。

④       解—解出方程（组）。注意检验

⑤       答—答题。

 经典例题

1、已知方程①；②；③；④， 其中是分式方程的有（    ）

   A.①②              B.②③                C.①③             D.①④

2、分式方程，去分母时两边同乘以         ，可化整式方程       

3、若关于的方程有增根，则的值为        

4、如果分式方程无解，则的值为        

 

第二篇：第十五章分式知识点总结及复习

第十五章 分式知识点总结及章末复习

20##年12月25日星期三

知识点一：分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（）

②分式无意义：分母为0（）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

经典例题

1、代数式是（   ）

 A.单项式        B.多项式        C.分式        D.整式

2、在，，，，中，分式的个数为（   ） 

A.1        B.2        C.3        D.4

3、当是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（   ）

   A.          B.        C.       D.

4、当时，分式①，②，③，④中，有意义的是（   ）

   A.①③④        B.③④          C.②④          D.④

5、使分式的值为0，则等于（   ）

A.            B.          C.            D.

6、若分式的值为0，则的值是（   ） 

A.1或－1        B.1             C.－1           D.－2

7、当         时，分式的值为正数.        

 8、当         时，分式的值为负数.

9、当          时，分式的值为1.

知识点三：分式的基本性质

1.分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

经典例题

1、把分式的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（   ）

  A.不变           B.扩大2倍            C.缩小2倍              D.扩大4倍

2、下列各式正确的是（   ）

   A.      B.      C.，（）       D.

3、下列各式的变式不正确的是（   ）

   A.       B.       C.        D.

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

经典例题

1、 约分：①；②

2、化简的结果是（    ）

A、         B、         C、           D、

知识点五：分式的通分

①       分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②       分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、分式，，的最简公分母是（   ）

 A.      B.    C.    D.

2、通分：； 

知识点六:分式的四则运算与分式的乘方

①       分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为:

②       分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

③       分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④       分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

经典例题

1、下列运算正确的是（   ）

A.     B.     C.     D.

2、计算：①   ②

知识点七:整数指数幂

①       引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适用。即

★    ★   ★    ★  （）

★      ★  （）  

 ★ （）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

科学记数法

若一个数x是0<x<1的数，则可以表示为（，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=

 

若一个数x是x>10的数则可以表示为 （ ，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如 120 000 000=

1、计算：①；②.

2、化简的结果是（   ）

A.        B.        C.        D.

3、化简的结果是（   ）

A.        B.        C.        D.

4.计算： ①；     ②；    ③.

知识点八：解分式方程的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

知识点九:列分式方程

基本步骤

①       审—仔细审题，找出等量关系。

②       设—合理设未知数。

③       列—根据等量关系列出方程（组）。

④       解—解出方程（组）。注意检验

⑤       答—答题。

 经典例题

1、已知方程①；②；③；④， 其中是分式方程的有（    ）

   A.①②              B.②③                C.①③             D.①④

2、分式方程，去分母时两边同乘以         ，可化整式方程       

3、若关于的方程有增根，则的值为         

4、如果分式方程无解，则的值为