第11章曲线积分与曲面积分总结

一、曲线曲面积分的计算

1、L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (a£t£b), .

2、有向曲线L: x=j(t), y=y(t), 参数t单调地由a变到b时,

        :

3、设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有     ,  其中L是D的取正向的边界曲线.

特别要注意曲线不封闭但比较简单时补一曲线使其封闭的情况。

4、曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为D_xy,

       

5、曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为D_xy ,

,

其中当S取上侧时, 积分前取“+”; 当S取下侧时, 积分前取“-”.

6、空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成,

      ,其中S取外侧。

特别要注意曲面不封闭面三重积分易计算时补一曲面的情况。

 

第二篇：《高等数学》 各章知识点总结——第9章

第9章　多元函数微分学及其应用总结

一、多元函数的极限与连续

1、维空间

为二元数组的全体，称为二维空间。为三元数组的全体，称为三维空间。 为元数组的全体，称为维空间。

维空间中两点间的距离：

邻域:　设是的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体称为点的邻域，记为，即

空心邻域:  的邻域去掉中心点就成为的空心邻域,记为=。

内点与边界点：设为维空间中的点集，是一个点。如果存在点的某个邻域，使得，则称点为集合的内点。 如果点的任何邻域内都既有属于的点又有不属于的点，则称为集合的边界点,的边界点的全体称为的边界．

聚点：设为维空间中的点集，是一个点。如果点的任何空心邻域内都包含中的无穷多个点，则称为集合的聚点。

开集与闭集:　若点集的点都是内点，则称是开集。设点集, 如果的补集是开集，则称为闭集。

区域与闭区域：设为开集，如果对于内任意两点，都可以用内的折线（其上的点都属于）连接起来, 则称开集是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．

有界集与无界集:　对于点集，若存在，使得，即中所有点到原点的距离都不超过，则称点集为有界集，否则称为无界集．

如果是区域而且有界，则称为有界区域．

有界闭区域的直径：设是中的有界闭区域，则称为的直径。

二、多元函数

元函数就是的一个子集到的一个函数，即对任意的，都存在唯一的，使得。习惯上，我们用表示一元函数， 用表示二元函数，用表示三元函数. 一般用或表示元函数．

三、多元函数的极限

设多元函数在有定义，是的一个聚点，为常数。如果对任意给定的，都存在，当时，有

则称为趋于时函数在上的极限，记为 或。

四、多元函数的连续性

设多元函数在有定义，是的一个聚点。如果，则称在点连续。如果在区域上各点都连续，就称在上连续．如果函数在 点处不连续，则称函数在点处间断, 也称是函数的间断点。

五、偏导数

设二元函数，为平面上一点。如果在的某一邻域内有定义且在点可导，即极限

存在, 则称在点处对可偏导，称此极限值为函数在点处对的偏导数，记为或

六、高阶偏导数

，，

，

如果函数的两个二阶混合偏导数都在平面区域D内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D内相等。

七、全微分

设函数在点的某一邻域内有定义，为常数。如果，其中， 则称函数 在点可微分（简称可微），称为函数在点的全微分，记作，即

可微的必要条件：函数在点可微, 则(1) 在点处连续。(2) 在点处偏导数存在, 且。

可微的充分条件：函数在点的某个邻域内可偏导，且偏导数在点连续，则在点可微。

八、多元复合函数的求导法则

链式法则：，， ，。

一阶全微分的形式不变性：，

九、隐函数及其求导法

若满足：(1) 在某邻域内可偏导, 且连续，(2) ，(3) 。则(1) 存在的某个邻域，在此邻域内存在唯一确定的一元函数满足称函数称为由方程所确定的隐函数，且具有连续导数，．

若满足：(1) 在点的某个(n+1)维邻域内可偏导, 且连续。

(2) ，(3)

则(1) 存在点的某个n维邻域, 在此邻域内存在唯一的n元函数，且函数在该邻域内具有连续偏导数,  。

十、空间曲线的切线与法平面

空间曲线的参数方程为，为曲线上一点。如果不全为0，则在点处的切线的方程为：，在点处的法平面方程为：。

十一、空间曲面的切平面与法线

曲面：在点处的法线方程为：

在点处的法线方程为：

十二、无条件极值

极值存在的必要条件：函数在点处取得极值, 且在该点处函数的偏导数都存在, 则在点处的一阶偏导数为零, 即

               

极值存在的充分条件：函数在点的某邻域内有一阶及二阶连续偏导数，且。令，，，则

(1) 当时，是函数的极值，其中当时为极大值，当时为极小值。

(2) 当时，不是极值。

十三、条件极值

   函数（称为目标函数）在条件下极值问题转化为求辅助函数的无条件极值的问题。