第一章  空间几何体知识点归纳

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：

     一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图

投影：中心投影  平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.  观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系，使=45⁰（或135⁰），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X^‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y^‘轴，且长度变为原来的一半； 

一般地，原图的面积是其直观图面积的倍，即

4、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：

⑷体积公式：

；；    

⑸球的表面积和体积：

.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

公理1的作用：判断直线是否在平面内

2 、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

                                        若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

                                     若，则点A和确定平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

                                     若，则确定平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

                                     若，则确定平面

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3 、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

                                

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.

5 、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

                                   

                                  

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6 、线线位置关系：平行、相交、异面。

（1）没有任何公共点的两条直线平行

（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7 、线面位置关系： 直线在平面内、平行、相交

 

                            

8 、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

                         

 证明两直线平行的主要方法是：

    ①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；

    ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

    ③ 线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么 这条直线和它们的交线平行；

                             

    ④平行线的传递性：                      

    ⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

                              

     ⑥垂直于同一平面的两直线平行；                         

⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③）

10、面面平行：（即两平面无任何公共点）

  （1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

                         

    （2）两平面平行的性质：

    性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

                           

                         

  性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；

                                                        

    性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

                                    

       性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

                             

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

                                

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

                                     

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行   

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

                               

证明两直线垂直和主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；

③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

空间角及空间距离的计算

1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。

3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角 ，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

      用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①
    

确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角的平面角是哪个？

      而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

      （求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。

如图：O为P在平面上的射影，

线段OP的长度为点P到平面的距离

求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的距离看成是

三棱锥的一个高。如图在三棱锥

中有：

 

第二篇：人教版高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；

第三象限角的集合为；

第四象限角的集合为；

终边在轴上的角的集合为；终边在轴上的角的集合为；

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．

7、弧度制与角度制的换算公式：，，．

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：，，．

12、同角三角函数的基本关系：；．

13、三角函数的诱导公式：

，，．

，，．

，，．

，，．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

，．  ，．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的性质：①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．

函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

16、向量：既有大小，又有方向的量．       数量：只有大小，没有方向的量．      有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为的向量．                单位向量：长度等于个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．        相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．

⑸坐标运算：设，，则．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设，，则．

设、两点的坐标分别为，，则．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

⑵运算律：①；②；③．

⑶坐标运算：设，则．

20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

23、平面向量的数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．

⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．

⑶运算律：①；②；③．

⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或；设，，则；

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸（）；

⑹（）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴．

⑵（，）．⑶．

26、，其中．