49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。
(2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
(3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不
50. 解排列与组合问题的规律是:
相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。
如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析:可分成两类:
(2)中间两个分数相等
相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。
∴共有5+10=15(种)情况
51. 二项式定理
性质:
(3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第
表示)
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?
的和(并)。
(5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
(6)对立事件(互逆事件):
(7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法:
分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。
(1)从中任取2件都是次品;
(2)从中任取5件恰有2件次品;
(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;
解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
(4)从中依次取5件恰有2件次品。
解析:∵一件一件抽取(有顺序)
分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法:
(2)决定组距和组数;
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)画频率直方图。
如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。
概率与统计
1.离散型随机变量ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则P1+P2+…=1;
…… 为ξ的数学期望,期望是反映随机变量“均值”的量,
;求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤:①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ
[举例] 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计).
(Ⅰ)求方程有实根的概率;(Ⅱ)求的分布列和数学期望;
解析:(Ⅰ)由题意知:设基本事件空间为,记“方程没有实根”为事件,“方程有且仅有一个实根”为事件,“方程有两个相异实数”为事件,则,是的基本事件总数为36个,
,中的基本事件总数为17个;
,中的基本事件总数为个;
,中的基本事件总数为17个;
又因为是互斥事件,故所求概率.
(Ⅱ)由题意,的可能取值为,则
,,,
故的分布列为:
所以的数学期望。
[巩固]某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;
(Ⅱ)求的分布列及期望.(07高考全国卷(Ⅰ)理18)
2.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是,(k=0,1,2,…,n,).称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数;若ξ~B(n,p),则np.
[举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为,,.
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望.
(07高考江西理19)
解析:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件,,,
(1)设表示第一次烧制后恰好有一件合格,则)++
.
(2)解法一:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件,则
,所以,
,,
.于是,
解法二:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为,
所以,故.
[巩固] 一个袋中装有3个红球,7个白球,从袋中随机摸出一个球,记录颜色后放回,连摸5次,试求摸到红球的次数的分布列及期望。
3.随机抽样需借助于随机数表(先对总体逐一编号),分层抽样的关键是“按比例”:总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中,每一个个体被抽到的概率相等。
[举例]从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样
从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率( )
A、不全相等 B、均不相等
C、都相等,且为 D、都相等,且为
解析:某人“入选”,首先在第一步的随机抽样中要不被剔除,其概率为,
在第二步的系统抽样中被抽中的概率为,故每人入选的概率为
[巩固] 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本,样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= 。
4.“读懂”样本频率分布直方图:直方图的高=,直方图中小矩形框的面积是频率;频率×样本个数=频数。
[举例1]从一条生产线上每隔30分钟取一件产品,共
取了n件,测得其尺寸后,画得其频率分布直方图如右,
尺寸在[15,45]内的频数为46,则尺寸在[20,25]内
的产品个数为
解析:由直方图可见,尺寸在[15,45]内的频率为
1-0.016×5=0.92, ∴=0.92,得n=50;
而尺寸在[20,25]内的频率为0.04×5=0.2,
∴尺寸在[20,25]内的产品个数为:0.2×50=10.
[巩固1] 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据,将数据分组如右表:
(I)画出该产品纤度的频率分布直方图;
(II)估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少?
(III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是)作为代表.据此,估计纤度的期望.
[巩固2]一个社会调查机构
就某地居民的月收入调查了
10 000人,并根据所得数据
画了样本的频率分布直方图
(如右图).为了分析居民的
收入与年龄、学历、职业等
方面的关系,要从这10 000
人中再用分层抽样方法抽出
100人作进一步调查,则在
[2500,3000)(元)月收入
段应抽出 人.
5.熟悉方差的计算公式和性质,如:样本同加(减)一个常数,方差不变;样本同乘一个常数k, 方差变为原来的k2倍;“标准差”是方差的算术平方根。样本的方差和标准差是反映其“稳定性”的量。对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是,,…,,…,且取这些值的概率分别是,,…,,…,那么,=++…++…称为随机变量ξ的方差,式中的是随机变量ξ的期望.的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差,记作。
[举例]某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由题意可得:x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧,因为不要直接求出x、y,只要求出,设x=10+t, y=10-t, 由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4;
∴,故选D。
[巩固1]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )
A. B.
C. D. ( 07高考宁夏理 11)
[巩固2]随机变量的分布列如下:
其中成等差数列,若,则的值是 .(07高考浙江理15)
6.正态分布密度函数:,(σ>0,-∞<x<∞),其中x是随机变量的取值,μ为正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为;正态曲线的性质:(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交 ,(2)曲线关于直线x=μ对称 ,(3)当x=μ时,曲线位于最高点 (4)当x<μ时,曲线上升(增函数);当x>μ时,曲线下降(减函数),并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近 ,(5)μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“高”.总体分布越集中。当μ=0、σ=l时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是,(-∞<x<+∞)。对于标准正态总体,表示总体取值小于的概率, 即,();当时,;而当时,=0.5;计算正态总体的概率应结合正态曲线(面积)进行。
[举例1]设随机变量服从标准正态分布,已知,则=( ) (07高考湖南理5)
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975
解析:=,因为标准正态曲线关于y轴对称,
所以,故=0.950,选C。
[举例2]以表示标准正态总体在区间内取值的概率,若随机变量服从正态分布,则概率等于( B )(07高考安徽理10)
A. B.
C. D.
解析:即正态分布的分布曲线与直线、、
所围成的区域面积,也就是标准正态分布的分布曲线与直线、、
所围成的区域面积,即,故选B。
[巩固1]在某项测量中,测量结果服从正态分布.若在内取值的概率为0.4,则在内取值的概率为 .(07高考全国卷Ⅱ理14)
[巩固2]已知随机变量服从正态分布,,则( )
A. B. C. D. (07高考浙江理5)
答案
1.[巩固]0.784,240;2、[巩固]3.5,16.5;3、[巩固]80,4、[巩固1] (Ⅱ)0.69,0.44, (Ⅲ)1.4088, [巩固2] 25,5、[巩固1] B ,[巩固2] ;6、[巩固1] ,[巩固2]A
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