初中数学函数专题总结

一次函数

1、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

则称y是x的一次函数,特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

2、一次函数的性质：

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k,即 △y/△x=k

3、一次函数的图象及性质：

1) 作法与图形：（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以

作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接）

2) 性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3) k，b与函数图象所在象限。

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点

k>0，b>0 k>0，b<0 k<0，b>0 k<0，b<0

反比例函数

1. 反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx-1(k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数

反比例函数的图像为双曲线。

2. 反比例函数的概念需注意以下几点：(1)(k为常数，k≠0）； (2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（3）因变量y的取值范围是y

≠0的一切实数．

3. 因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

二次函数

1. 一般地，自变量x和因变量y，y是x的函数之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c (a≠0)a，b，c为常数，

，则称y为x的二次函数。

2. 二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为

k =(4ac-b2)/4a

x1,x2 =(-b±√b2-4ac)/2a二次函数的图像

3. 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

二次函数标准画法步骤

（在平面直角坐标系上）

（1）列表

（2）描点

（3）连线

4. 抛物线的性质

1.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.x

3.二次项系数

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二次函数公式：顶点式、交点式、两根式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^

2)/4a)

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)

(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：

(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.

(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).

二次函数对称轴及解法

设二次函数的解析式是y=ax^2+bx+c

对称轴为：直线x=-b/2a,

顶点横坐标为：-b/2a

顶点纵坐标为：(4ac-b^2)/4a

求解方法：

1如果题目只给个二次函数的解析式的话，那就只有配方法了吧，y=ax2+bx+c=a[x+(b/2a)]2+(4ac-b

2)/4a，则对称轴为x=-b/2a

2.如果题目有f(a-x)=f(b+x)的已知条件，那对称轴是x=(a+b)/2

3.如果题目给出了2个零点(a,0)、(b,0)，则对称轴是x=(a+b)/2

4.如果题目给出了定义在R上的抛物线最大值或最小值(a,b),则对称轴为x=a

第二篇：初中数学函数专题总结