排列组合题型总结方法

排列组合题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．直接法

1．特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A5，其余2位有四个可供选择A4，由乘法原理：A5

=240 A4

2．特殊位置法

3（2）当1在千位时余下三位有A5=60，1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A4种，余下的有

2112

，共有A4=192所以总共有192+60=252 A4A4A4

432

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A6=252 ?2A5?A4

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因

而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C5个，其中0在百位的有?23?A3

2222233

个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C5-C4?2?A2=432 C4?22?A2?23?A3

三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A9=100中?A10

插入方法。

四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A4种排法，而男生之间又有A4种排法，又乘法原理满足条件的排法有：A4×A4=576

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种

（C4A3）

2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

119

人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C29）（注?A28

1意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C29其余的就是19所学校

选28天进行排列）

五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插

7入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C11种

练习1.(a+b+c+d)有多少项？

110

当项中只有一个字母时，有C4种（即a.b.c.d而指数只有15故C4。 ?C14

2当项中有2个字母时，有C4而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，121即C4 C14C14

332当项中有3个字母时C4指数15分给3个字母分三组即可C4C14 43当项种4个字母都在时C4 四者都相加即可． ?C14

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号

2数，问有多少种不同的方法？（C16）

3．不定方程X1+X2+X3+?+X50=100中不同的整数解有（C99）

六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

3 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有A3=6种，而这6种分法只算一种分

222

C6C4C2

堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 3

练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七．合并单元格解决染色问题

例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数

2,4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得

种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

① 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有由加法原理知：不同着色方法共有2

C4?A3种方法．

A4?C4A3=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

不同的种植方法共种（以数字作答）（72）

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，

2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）

图3 图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）

图5 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）

十四．除序法例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？

A77A7

解（1）3（2）34

A3A4A3

十一．用转换法解排列组合问题

例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．A5=20种

例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问

5题．C9=126种

例12 从1，2，3，?，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．

10解把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C991

例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最

短的走法有多少种．

解无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问

3题．C7=35（种）

例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走

法．

解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个

6相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．C12=924（种）．

例15 求（a+b+c）的展开式的项数．

解展开使的项为abc,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排

2列问题．C12=66（种）

例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比

赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

解设亚洲队队员为a1,a2，?,a5,欧洲队队员为b1，b2，?，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程

6的总数为C10=252（种）

第二篇：排列组合题型总结

排列组合题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一．直接法、

1．特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）

三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。

四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（）

2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）

五．闸板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用闸办法

例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种

练习1.(a+b+c+d)¹⁵有多少项？

当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。

当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即

当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可

当项种4个字母都在时四者都相加即可．

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）

3．不定方程X₁+X₂+X₃+…+X₅₀=100中不同的整数解有（）

六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

分析：分出三堆书（a₁,a₂）,(a₃,a₄)，（a₅,a₆）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种

练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

七．合并单元格解决染色问题

例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。

分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

下面分情况讨论:

(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．

由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，

不同的种植方法共种（以数字作答）（72）

图3 图4

图5 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）

八．递推法

例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

分析：设上n级楼梯的走法为a_n种，易知a₁=1,a₂=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a_n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a_n-2种走法，由加法原理知：a_n=a_n-1+ a_n-2,据此，a₃=a₁+a₂=3,a₄=a_#+a₂=5,a₅=a₄+a₃=8,a₆=13,a₇=21,a₈=34_,a₉=55,a₁₀=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

九.几何问题

1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种（3+3=33）

2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？

(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)

(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？三棱锥 C₁₀⁴-4C₆⁴-6C₄⁴-3C₄⁴=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114

十．先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（）

A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种

分析：先从10人中选出2人

十一．用转换法解排列组合问题

例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．=20种

例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．=126种

例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．

解把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。

例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

解无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．=35（种）

例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）．

例15 求（a+b+c）¹⁰的展开式的项数．

解展开使的项为a^αb^βc^γ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．=66（种）

例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

解设亚洲队队员为a₁,a₂，…,a₅,欧洲队队员为b₁，b₂，…，b₅，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）