高中数学：第十二章  概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计．

总体期望值和方差的估计．

考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．

（2）会用样本频率分布估计总体分布．

（3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12.概率与统计知识要点

一、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①；②.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记，其中

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量的数学期望：

①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：其分布列为：.

⑶两点分布：，其分布列为：（p+q=1）

⑷二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）

⑸几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）

⑵单点分布：其分布列为

⑶两点分布：其分布列为：（p+q=1）

⑷二项分布：

⑸几何分布：

5.期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，则

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线对称.

③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3.⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.

注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通

常用表示，且有.

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设.如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7％亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

 

第二篇：高考数学基础知识总结：第十三章 极限

高中数学：第十三章 极限

考试内容：

教学归纳法．数学归纳法应用．

数列的极限．

函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．

考试要求：

(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

(2)了解数列极限和函数极限的概念．

(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

§13.极限 知识要点

1.⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个n0时结论正确；②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，结论正确，证明当n?k?1时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①当n?n0（n0?N?）时，P(n)成立；

②假设当n?k（k?N?,k?n0）时，P(n)成立，推得n?k?1时，P(n)也成立. 那么，根据①②对一切自然数n?n0时，P(n)都成立.

2.⑴数列极限的表示方法：

①liman?a；②当n??时，an?a. n??

⑵几个常用极限：

①limC?C（C为常数）；②limn??n??1kn

③对于任意实常数，当|a|?1时，liman?0；当a?1时，若a=1，则liman?1；若a??1，n???0(k?N,k是常数)； n??则liman?lim(?1)n不存在；当a?1时，liman不存在. n??n??n??

⑶数列极限的四则运算法则：

如果liman?a,limbb?b，那么 n??n??

①lim(an?bn)?a?b；②lim(an?bn)?a?b；③limn??n??ana?(b?0) n??bnb

特别地，如果C是常数，那么

lim(C?an)?limC?liman?Ca. n??n??n??

⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当q?1时，无穷等比数列的各项和为S?a1(q?1).（化1?q循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3.函数极限；

⑴当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限为a.记作limf(x)?a或当x?x0时，f(x)?a. x?x0

注：当x?x0时，f(x)是否存在极限与f(x)在x0处是否定义无关，因为x?x0并不要求x?x0.（当然，f(x)在x0是否有定义也与f(x)在x0处是否存在极限无关.?函数f(x)在x0有定义是limf(x)存在的既不充分又不必要条件.） x?x0

如P(x)???x?1x?1在x?1处无定义，但limP(x)存在，因为在x?1处左右极限均等于零. x?1??x?1x?1

⑵函数极限的四则运算法则：

如果limf(x)?a,limg(x)?b，那么 x?x0x?x0

①lim(f(x)?g(x))?a?b；②lim(f(x)?g(x))?a?b；③limx?x0x?x0x?x0f(x)a?(b?0) g(x)b特别地，如果C是常数，那么

lim(C?f(x))?Climf(x)；lim[f(x)]n?[limf(x)]n（n?N?） x?x0x?x0x?x0x?x0

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①lim1ilax?0（a＞1）；m； ?0；②limax?0（0＜a＜1）x???x???n??x

1sinxx1③lim） ?1?lim?1；④lim(1?)x?e，lim(1?x)x?e（e?2.71828183x?0x?0xx?0sinxx??x

4.函数的连续性：

⑴如果函数f（x），g（x）在某一点x?x0连续，那么函数f(x)?g(x),f(x)?g(x),f(x)(g(x)?0)g(x)在点x?x0处都连续.

⑵函数f（x）在点x?x0处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点x?x0处有定义；②limf(x)存在；③函数f（x）在点x?x0处的极限值x?x0

等于该点的函数值，即limf(x)?f(x0). x?x0

⑶函数f（x）在点x?x0处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点x?x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点. ①f（x）在点x?x0处没有定义，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，但x?x0x?x0x?x0limf(x)?f(x0).

5.零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)?0.那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0.

⑵介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)?A,f(b)?B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C（a＜?＜b）.

⑶夹逼定理：设当0?|x?x0|??时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则必x?x0x?x0有limf(x)?A. x?x0

注：|x?x0|：表示以x0为的极限，则|x?x0|就无限趋近于零.（?为最小整数）

6．几个常用极限： annk

?0(a?0)；③limn?0(a?1,k为常数） ①limq?0,q?1；②limn???n???n!n???an

(lnn)klnn?0(??0,k为常数）④lim． ?0；⑤limn???n???nn?