归纳函数极限的计算方法

 

函数极限的计算方法

  :本文总结出了求极限的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词:函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算

The sum of the Method of Computing Function Limit

Abstract:The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on.

Key Words:Function Limit;Computing method;L’Hospital rules; Four fundamental rules

前言

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法,对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活,本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧.

1.预备知识

1.1函数极限的定义

设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,记作.

2.求函数极限的方法总结

极限是描述函数的变化趋势,以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限;但是结构较为复杂的函数的图形不易画出,基于直观也就无法得出极限,本着化繁为简的思想,产生了极限的四则运算法则;由“数列的单调有界准则”和“迫敛准则”产生了两个重要极限和无穷小量的性质—有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量;由中值定理得出了罗必达法则.以上也是我们求极限的理论依据,但在个依据下求极限又有各自的技巧.

2.1依据函数极限的迫敛性求极限

函数极限的迫敛性   设,且在某内有,则.

例1求极限

解:当时,有

,由函数迫敛性可得

同理可得时,,即

    注:依据函数极限的迫敛性求极限时,需判断该函数的上下范围,这时通常用到以下不等式:

2.2 依据极限的四则运算求极限

依据极限的四则运算法则求极限的题目,除了直接使用极限的四则运算法则外,往往还有以下几种类型:

分母极限为0:可先采用“约简分式”或“分子、分母有理化”进行恒等变形,将分母极限化为非零,然后再运用法则:

例2 求极限都是正整数)

解:原式= 

=

等未定型:因“”不是一个数,故该类型的题目不能直接使用运算法则,但可以利用“无穷大量的导数”、“分式有理化”或“通分”等方法,将其转化为极限存在后,再运用法则计算.

例3求极限

解:原式=

= 

2.3 依据两个重要极限求极限

两个重要的极限:.

函数经过一定变形,若能出现以下情况:

时,也可采用重要极限来求.

例4 求极限

解:原式=

例5 求极限

解:原式=

2.4依据等价无穷小替换求极限

求函数极限,若能恰当采用等价无穷小的代换,可以起到变难为易,化繁为简的作用.需要记住一些常见的等价无穷小, 如当时:

  

例6 求极限

解:原式

       

       

注:用等价无穷小替换求极限时,应注意只能用分子、分母整个部分去代换,或是把函数化成积的形式实行无穷小代换,对极限式的相加相减部分不能随意替代.

2.5 依据洛必达法则求极限

洛必达法则:

型不定式极限  若函数满足:

(i);

(ii)在点的某空心邻域内两者都可导, 且

(iii)(可为实数, 也可为), 则

型不定式极限  若函数满足:

(i);

(ii)在点的某右邻域内两者都可导, 且

(iii)(可为实数, 也可为), 则

因此函数为型,通常可采用此法,如下:

例7计算极限

解:原式

注:“洛必达法则”是求函数极限的有力工具,但在运用中,由于积、商、复合函数的求导会使分子、分母的项数增加, 导致求极限过程繁琐,因此用法则求型的极限是不够的,需综合运用其它方法才能发挥作用.

2.6 依据麦克劳林展开式求极限

一般常见函数的麦克劳林公式:

利用洛必达法则求型极限时,其结果是化成某阶导数的比,而麦克劳林展开式的各项系数正分别含着各阶导数的值,因此对型函数极限也可采用此法.

例8 求极限

解:

原式=

注:若本题采用洛必达法则去做,会导致计算过程繁杂.

2.7 运用函数的连续性求极限

函数的连续性定义:  设函数在某内有定义, 若

,

则称在点连续.

若函数在区间上的每一点都连续, 则称上的连续函数.

例9 计算极限

思路:为连续函数, 的定义区间上的一点,则.

解:原式=

2.8 运用导数的定义求极限

导数的定义:  设函数在点的某邻域内有定义, 若极限

存在, 则称函数在点处可导, 并称该极限值为函数在点处的导数, 记作.

     若函数在区间上的每一点都可导(对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数), 则称上的可导函数.

例10 计算

思路:对具有形式的极限,可由导数的定义来进行计算.

解:原式=

2.9运用定积分的定义求极限

定积分的定义:  设是定义在上的一个函数, 是一个确定的实数.若对任意给的正数, 总存在某一正数, 使得对的任何分割, 以及在其上任意选取的点集, 只要, 就有

则称函数在区间上可积或黎曼可积;数称为在区间上的定积分或黎曼积分, 记作

例11 计算

思路:和式极限,利用定积分定义求得极限.

解:原式

        

        

2.10 运用微分中值定理求极限

拉格朗日中值定理:  若函数满足如下条件:

(i)在闭区间上连续;

(ii)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得

.

例12:计算

思路:对函数在区间上运用拉格朗日中值定理,即可求得.

解:原式  (其中区间内)

综上所述,求极限时,在不同的函数类型下,所采用的技巧是各不相同的,对同一题也可能有多种求法,有难有易,有时甚至需要结合上述各种方法,才能简单有效的求出,因此学会判断极限的类型和对以上的解法的灵活运用是必要的.

参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析(第五版)[M]. 高等教育出版社,2001.

[2]钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报,2003.

[3]李占光. 函数极限的计算方法[J]. 长沙民政职业技术学院学报,2004.

                  

 

第二篇:极限的计算方法

第二章 一元函数微分学

三、极限的计算方法(二)

4.利用两个重要极限求极限

第1个重要极限的标准形式:limx?0

x??sinxx?1第2个重要极限的标准形式:lim(1?1x)?ex

注意:对于两个重要极限,不仅要记住他们的标准形式,更重要的是理解其本质特征,明确其一般形式。

sinx在lim?1中,x是无穷小量,即此极限的特征是:无穷小量的正弦与x?0x

其自身之比的极限是1,设?(x)为x的函数,在x的某个变化过程中,若?(x)?0, 则第1个重要极限的一般形式为:

    limsin?(x)?1?(x)?0?(x)

11在lim(1?)x?e中,x??时是无穷小量,因此该极限的特征为:x??xx

无穷大量(1?无穷小量)(其中,无穷小量与无穷大量互为倒数)的极限为e。

若在x的某个变化过程中,?(x)?0,则第2个重要极限的一般形式为

?(x)?0lim(1??(x))1?(x)?e

例6求极限lim

解:因sinax?sinax(a,b均为常数) x?0sinbxsinax?x,于是可把上极限化为两个函数乘积的极限sinbxxsinbx 求解。又当x→0时,ax→0,bx→0,于是有

sinaxsinaxx?lim?limx?0sinbxx?0x?0sinbxx

sinax1111a ?alim?lim?a?1???x?0axbx?0sinbxb1b

bx

x例7求极限limtsin

t??tlim

xx解:在极限过程中,t是变量,当t???0,即是无穷小量,于是有tt

   limtsint??x?lim(tt??x

tsinxt?x)?1?x?x

分析:当x→0时,分子,分母的极限均为0,且分子是一个无理函数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘以(?x?1),然后看是否可利用第12?x2?1 例8求极限lim2x?0sinx

个重要极限。

?x2?11?x2?1x21解:lim?lim?lim?lim2x?0x?0sinx2sinx2?(?x2?1)x?0sinxx?0?x2?1

11        ?1??22

k例9求极限lim(1?)n(k为常数)

n??n

kk无穷大   分析:当n???0,即是无穷小量,符合“(1?无穷小)”型, nn

再把无穷小量与无穷大量配成互为倒数的形式,即可利用第2个重要极限求解。

kk解:lim(1?)n?lim[(1?)k]k?ek

n??n??nnn

例10求极限lim(1?kx)(k为常数) x?01x

1   分析:当x?0时,?kx是无穷大量,即极限属于x

11无穷大“(1?无穷小)”型,再把配成“?kx”的倒数“?2个重要

xkx

极限求解。

解:lim(1?kx)?lim[(1?kx)x?0x?01x?1kx?k]?e?k

例11求极限lim(x??x?5x?3) x

x?5x?3555解:lim()?lim(1?)x?lim(1?)3?lim[(1?)5]5?13?e5

x??x??x??x??xxxx

n?3n例12求极限lim()

n??n?1

解法1:因为n?3

n?1n?1n?1

41 故令?,即n?4t?1,且当n??时,t??,于是有:n?1t?n?1?4?1?4 x

  lim(n??

解法2: n?3n111)?lim(1?)4t?1?lim[(1?)t]4?lim(1?)?e4?1?e4t??t??t??n?1ttt

n

5.利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。 3331?lim(1?)nlim[(1?)3]3n?3ne3n??n??nnnnlim()?lim()????1?e4n??n?1n??111e1?lim(1?)nlim[(1?)?n]?1n??n??nnn

?11?例13求极限lim??? 。

x?0x(x?3)3x??

11   分析:当x?0与均趋于无穷大,此极限属“???”型未定 xx?33x

式,一般采用先通分变形后再求极限。

?11?3?(x?3)?11解:lim????lim?lim??

x?0x(x?3)3x?x?03x(x?3)x?03(x?3)9?

1?cosx 例14求极限limx?0xtanx

分析:当 x→0时,分式中分子分母的极限均为0,不能直接使用极限的运算法则,但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢?这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。

1?cosx(1?cosx)(1?cosx)1?cos2x??xtanxxtanx?(1?cosx)xtanx?(1?cosx)

sin2xsinxcosx  ???sinxx1?cosxx?(1?cosx)cosx

1?cosxsinxcosx11所以,lim?lim?lim?1??

x?0xtanxx?0xx?01?cosx22

xsinx

x??x2?1 6.利用无穷小量的性质求极限·极限计算小结 ⑴ 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。 例15求极限lim

解:因当x→∞时,sinx的极限不存在,故不能用极限的运算法则求解,考虑到 lim

x?limx??x2?1x??1x11?2x?0

x   即x??sinx?1,即sinx是有界变量,由无穷小x?1

x?sinx是无穷小量,即x?1

lim

极限计算小结:

以上介绍了极限计算中常用的6种基本初等方法,在实际运用中,要首先判定所求极限属于哪一种类型,视具体情况灵活正确运用。同时,也要注意各种方法的综合运用。极限计算是本章的重点内容之一,要求大家加强练习,熟练掌握。

xsinx?0x??x2?1

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