一次函数知识点总结

一、函数

1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．

4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．

用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．

（1）要使函数的表达式有意义：1整式（多项式和单项式）时为全体实数；2分式时，让分母≠0；3含二次根号时，让被开方数≠0 。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．

7.描点法画函数图象的一般步骤如下：

 Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

 Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

 Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．

8.判断y是不是x的函数的题型

1给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。

2给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。

二、正比例函数

1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。注意点1自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；2比例系数k≠0；3不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。

2.正比例函数图像：一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

    

画正比例函数的最简单方法：

    （1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；

    （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

    （3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象。

三、一次函数

1.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意点1自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；2比例系数k≠0；3常数项可有可无。

2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．

3.系数k的意义：k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。

系数b的意义：b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b）

与x轴的交点是点（-，0）

4.一次函数图像和解析式的系数之间的关系

5.画一次函数图像的最简单方法：

    （1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（-，0）；

    （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

    （3）过点（0，b）与点（-，0）做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的图象．

6. 待定系数法确定一次函数解析式：

7.解析式与图像上点相互求解的题型

1求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。

2求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

四、一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值．

五、一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围．

用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。

六、一次函数与二元一次方程（组）

1.解二元一次方程组可以看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标。

2.求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。

 

 

一次函数题型总结

函数定义

1、判断下列变化过程存在函数关系的是(       )

A.是变量，      B.人的身高与年龄 

C.三角形的底边长与面积  

D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间

2、已知函数，当时，= 1，则的值为(      )

A.1       B.－1       C.3      D.

3、下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）。

正比例函数

1、下列各函数中，y与x成正比例函数关系的是（其中k为常数）(    ) 

A、y=3x－2   B、y=(k+1)x    C、y=(|k|+1)x   D、y= x²

2、如果y=kx+b，当         时，y叫做x的正比例函数

3、一次函数y=kx+k+1，当k=            时，y叫做x正比例函数

一次函数的定义

1、下列函数关系中，是一次函数的个数是(    )

①y=  ②y=  ③y=2¹⁰－x   ④y=x²－2   ⑤ y=+1

A、1    B、2    C、3      D、4

2、当m、n为何值时，函数y=(5m－3)x^2-n+(m+n)

（1）是一次函数    （2）是正比例函数

一次函数与坐标系

1.一次函数y=－2x+4的图象经过第         象限，y的值随x的值增大而          （增大或减少）图象与x轴交点坐标是            ，与y轴的交点坐标是　　　　　　　　　．

2. 已知y+4与x成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y=　　　　　　．

3.已知k＞0，b＞0，则直线y=kx+b不经过第　　　　　　象限．

4、若函数y=－x+m与y=4x－1的图象交于y轴上一点，则m的值是(　　　)

A. 　　　　　　B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

5.如图，表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y=mnx(m，n是常数，且 mn≠0)图像的是(     ).

6、已知一次函数的图象如图1所示，那么的取值范围是（    ）

A．             B．              C．             D．

7．一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（  ）

待定系数法求一次函数解析式

1.已知直线经过点（1,2）和点（3,0），求这条直线的解析式.

2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴相交于C点．求：

 (1)直线AC的函数解析式； (2)设点(a，－2)在这个函数图象上，求a的值；

　

3、小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段、分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。

⑴试用文字说明：交点P所表示的实际意义。

⑵试求出A、B两地之间的距离。

函数图像的平移

1、把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为　　　　　　．

2、将直线y＝2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（   ）。

A、y＝2x＋2     B、y＝2x－2     C、y＝2(x－2)     D、y＝2(x＋2)

3、将函数y＝－6x的图象向上平移5个单位得直线，则直线与坐标轴围成的三角形面积为      .

函数的增加性

1、已知点A(x₁，y₁)和点B(x₂，y₂)在同一条直线y=kx+b上，且k＜0．若x₁＞x₂，则y₁与y₂的关系是(　)

A.y₁＞y₂　　　　　B.y₁=y₂　　　　　C.y₁＜y₂　　　　D.y₁与y₂的大小不确定

2、写出一个y随x的增大而增大的一次函数的解析式：                    .

3、在一次函数中，随的增大而           （填“增大”或“减小”），当  时，y的最小值为          .

函数图像与坐标轴围成的三角形的面积

1、函数y=-5x+2与x轴的交点是      ，与y轴的交点是        ,与两坐标轴围成的三角形面积是          。

2.已知直线y=x+6与x轴、y轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___    。

函数图像中的计算问题

1 、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l_甲、l_乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S(km)随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有(   )

  A.4个              B.3个              C.2个              D.1个

         

2、（2007江苏南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．

（1）分别求出和时与的函数表达式；

（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：

小明家这个季度共用水多少立方米？

应用题中的分段函数

1　某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．

解 在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；

在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)；

在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)．

2、某蒜薹（tái）生产基地喜获丰收，收获蒜薹200吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并且按这三种方式销售，计划每吨平均的售价及成本如下表：

        若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），且零售量是批发量的

   （1）求y与x之间的函数关系式；

   （2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润。

注：利润=售价－成本

一次函数与二元一次方程的关系

1、已知一次函数的图象如图1所示，

  当时，的取值范围是（　　）

Ａ．          Ｂ．         

Ｃ．         Ｄ．

2、一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（    ）

A．0             B．1              C．2              D．3

3、方程组的解是          ，则一次函数y=4x－1与y=2x+3的图象交点为            。

4、若点A(2，-3)、B(4，3)、C(5，a)在同一条直线上，则a的值是（     ）

   A、6或-6        B、6        C、-6         D、6和3

5、如图，直线：与直线：相交于点

P（，2），则关于的不等式≥的解集为        ．

函数图像平行

1．在同一平面直角坐标系中，对于函数①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2（x+1）的图象，下列说法正确的是（  ）

    A．通过点（-1，0）的是①③    B．交点在y轴上的是②④

    C．相互平行的是①③           D．关于x轴对称的是②④

2、已知：一次函数y＝(1－2m)x+m－2，问是否存在实数m，使

（1）经过原点

（2）y随x的 增大而减小

（3）该函数图象经过第一、三、四象限

（4）与x轴交于正半轴

（5）平行于直线y＝-3x－2

（6）经过点（-4，2）

3、已知点A（－1，－2）和点B（4，2），若点C的坐标为（1，m），

问：当m为多少时，AC+BC有最小值？

 

 

 

 

数据的分析

一、选择题）

1、8个数的平均数12，4个数的平均为18，则这12个数的平均数为（   ）．

    A．12     B．18    C．14      D．12

2、衡量样本和总体的波动大小的特征数是（    ）

    A．平均数    B．方差     C．众数     D．中位数

3、一组数据按从小到大排列为1，2，4，x，6，9这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为（    ）

    A．4      B．5      C．5.5     D．6

4、某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（   ）

   A．服装型号的平均数;B．服装型号的众数;C．服装型号的中位数;D．最小的服装型号

5、人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是（     ）

A.甲班     B.乙班     C.两班成绩一样稳定     D.无法确定

二、填空题

6、数据“1，2，1，3，1”的众数是_______

7、一组数据-1，0，1，2，4的方差是_____．

8、某移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的1000位用户中抽取了10位用户来统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示：

则本次调查中抽取的样本容量是_________，

中位数是_________，众数是_________．

9、右图是一组数据的折线统计图，这组数据的极差

是_____，平均数是____．

10、有一个样本的方差是

这个样本共有_____个数据，平均数为________

三、解答题

11．某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三次素质测试，下面是三名后选人的素质成绩

公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权：4，3，2，这三人中谁将被录用？

13、（本小题9分）某市举行一次少年书法比赛，各年级组的参赛人数如下表所示：

    （1）求全体参赛选手年龄的众数，中位数．

    （2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%，你认为小明是哪个年龄组的选手？请说明理由．

14．（本小题9分）当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如下：

解答下列问题：

（１）本次抽样调查共抽测了            名学生；（２）参加抽测的学生的视力的众数在           范围内；中位数在           范围内；

 

15、（本小题8分）甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品个数分别是：

    甲：0，1，0，2，1，0，1，1，2，2

    乙：1，3，0，1，0，2，1，1，0，1

    请你运用所学的知识作出判断，估计哪台机床性能较好。为什么？（注意：要列出式子）

 

第二篇：一次函数知识点总结及典型试题(用)

一次函数知识点总结及经典试题

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

   常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

   *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

  （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

  （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

  （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

  （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

  （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数                         

1、一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当，时，仍是一次函数．

⑶当，时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零)  ① k不为零  ② x指数为1 ③  b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零)   ① k不为零  ②x指数为1  ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)         （2）必过点：（0，b）和（-，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

            b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限         直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限         直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6、正比例函数和一次函数及性质

6、直线（）与（）的位置关系

（1）两直线平行且    （2）两直线相交

（3）两直线重合且    （4）两直线垂直

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

练习：

1下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（  ）

A．y=    B．y=    C．y=    D．y=·

2 正比例函数，当m          时，y随x的增大而增大.

3 函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是  (    )

A.       B.      C.        D.

4 若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过        （   ）

A.第一象限     B. 第二象限      C.第三象限       D.第四象限

5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【        】

A．      B．   C．  D．

6.若一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那（    ）

A．，     B．，     C．，     D．，

7.一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图9所示，则不等式kx+b＞0的解集是（    ）

A．x＞-2    B．x＞0    C．x＜-2    D．x＜0

8.如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，

则该一次函数的表达式为（    ）

A．       B．   C．      D．

9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（    ）

A.轮船的速度为20千米/时    B.快艇的速度为40千米/时

C.轮船比快艇先出发2小时    D.快艇不能赶上轮船            

10.一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（    ）

11.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（    ）

12、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是

－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

13函数y=中自变量x的取值范围是___________．

14．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，-1），则其解析式是_________                      ．

15、若直线y=－x+k不经过第一象限，则k的取值范围为         。

16、把直线y=向下平移3个单位得到的函数解析式为         。

17、若y=kx+（2k－1）的图象经过原点，则k=     ；当时k=     时，这个               函数的图象与轴交于（0，1）

18、 求下列一次函数的解析式：

（1）图像过点（1，－1）且与直线 平行；

（2）图像和直线 在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

19：已知一次函数 .求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.

20 已知一次函数 的图象经过点 及点 （1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．