考点1：二次函数的有关概念

（1）抛物线的形状

二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

（2）抛物线的平移

二次函数y=ax?向右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a(x-h)2+k,进一步化简得到二次函数y=ax?+bx+c。新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。

（3）抛物线与坐标轴的交点

抛物线与x轴相交时y＝0，抛物线与y轴相交时x＝0。

（4）抛物线y=ax2+bx+C中a、b、c的作用

a决定当开囗方向，a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

a和b共同决定对称轴。

C决定与y轴交点。

（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值

顶点式：y=a(x-h)2+k顶点坐标（h，k），对称轴x=h, 最大（小）值k。

一般式：y=ax?+bx+c顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。

例1)如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方各边平行或垂直．若小正方形的边长为

与之间函数关系的大致图象是（ ）

形，且

的顶点上，且它们的各边与正方形，阴影部分的面积为，则能反映

例2.某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数

（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）

A．40 m/s B．20 m/s

C．10 m/s D．5 m/s

例3.如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为

A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）

例4一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系

2式h=-5(t-1)+6,则小球距离地面的最大高度是（ ）

A. 1米 B. 5米 C .6米 D .7米

例5.已知抛物线经过点和点P （t，0），且t ≠ 0．

（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；

（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；

（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．

例6.如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t>0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,-5),D(4,0)

（1）求c，b（用含t的代数式表示）

（2）当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M，N

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变 化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。

考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系

例1.如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t-5t2。

考虑以下问题

（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

例2.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋.

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 考点3

：求二次函数的解析式

例1.如图13，已知二次函数的 图像经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．

考点4：二次函数的图象、性质在生活中的应用

例1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为

x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

例2.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，

（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）

（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，

表示甲地当年的年销售额，并求年利润，请你用含的代数式（万元）与之间的函数关系式；

（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是．

例3某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．

若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．

（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内

（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国

内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还

是在国外销售才能使所获月利润较大？

x2 元的附加费，设月利润

 

第二篇：初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

   方法二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

二、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

  2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

三、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

四、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

   ⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

五、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有三种情况，可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

  3. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是         

2． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

3． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

    5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

例1 （1）二次函数的图像如图1，则点在（  ）

         A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

    （2）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（  ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

           

                       (1)                         (2)

例2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x₁，0)，且1<x₁<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为(  )

  A 1个  B. 2个  C. 3个  D．4个

例3、 “已知函数的图象经过点A（c，－2），   

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数的顶点坐标是(   )

A.(2,－11)          B.（－2，7）        C.（2，11）        D. （2，－3）

2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（   ）

A.     B.    C.    D.

3．已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A.                       B.  

C. 或      D. 或

4函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的(   )

5.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是(    )

 A.1个       B.2个       C. 3个           D. 4个

6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（　 ）

A．第一象限　　　B．第二象限

C．第三象限　　  D．第四象限

二、填空题

7．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

8．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是               （只写一个即可）。

9. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=           ,c=         。

10.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。