一、函数图像知识点汇总
1.函数图象的变换
1平移变换
①水平平移:y=fx±aa>0的图象,可由y=fx的图象向左+或向右-平移a个单位而得到.
②竖直平移:y=fx±bb>0的图象,可由y=fx的图象向上+或向下-平移b个单位而得到.
2对称变换
①y=f-x与y=fx的图象关于y轴对称.
②y=-fx与y=fx的图象关于x轴对称.
③y=-f-x与y=fx的图象关于原点对称.
由对称变换可利用y=fx的图象得到y=|fx|与y=f|x|的图象.
①作出y=fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|fx|的图象;
②作出y=fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f|x|的图象.
3伸缩变换
①y=afxa>0的图象,可将y=fx图象上每点的纵坐标伸a>1时或缩a<1时到原来的a倍,横坐标不变.
②y=faxa>0的图象,可将y=fx的图象上每点的横坐标伸a<1时或缩a>1时到原来的倍,纵坐标不变.
4翻折变换
①作为y=fx的图象,将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到y=|fx|的图象;
②作为y=fx在y轴上及y轴右边的图象部分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=f|x|的图象.
2.等价变换
可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:1写出函数解析式的等价组;2化简等价组;3作图.
3.描点法作图
方法步骤:1确定函数的定义域;2化简函数的解析式;3讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值甚至变化趋势;4描点连线,画出函数的图象.
注意:
一条主线
数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点.作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段,不可本末倒置.
两个区别
1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称.
2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同,前者也是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系.
三种途径
明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径.
1图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换.
2函数解析式的等价变换.
3研究函数的性质.
二、例题解析
三、复习指导
函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理解透彻
1.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2.复合函数
(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
点击查看:高中数学知识点总结
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.判断对应是否为映射时,抓住两点:
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;
13.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解
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