诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

①看是π/2的几倍，奇数倍变名，偶数倍不变。

②符号看变之前的。

③x永远当锐角。

一. 正弦函数：形如y=sin x的函数称为正弦函数。

性质： 1.定义域：R

2.值域：[-1,1]

3.奇偶性：奇函数

4.单调性：在（-π/2+2kπ, π/2+2kπ）上单调递增；

在（π/2+2kπ, 3π/2+2kπ）上单调递减。

5.周期： T=2π

6.对称轴：x=π/2+kπ

7.对称中心：（kπ,0）

8.最值： 当y=1时{x| x=π/2+kπ,k∈Z}；

当y=-1时{x| x=-π/2+kπ,k∈Z}。

二. 余弦函数：形如y=cos x的函数称为余弦函数。

性质： 1.定义域：R

2.值域：[-1,1]

3.奇偶性：偶函数

4.单调性：在（-π+2kπ, 2kπ）上单调递增；

在（2kπ,π+2kπ）上单调递减。

5.周期： T=2π

6.对称轴：x= kπ

7.对称中心：（π/2+kπ,0）

三. 正切函数：形如y=tan x的函数称为正切函数。

性质： 1.定义域：x≠π/2+kπ

2.值域：R

3.奇偶性：奇函数

4.单调性：在（-π/2+kπ, π/2+kπ）上单调递增。

5.周期： T=π

6.对称轴：无

7.对称中心：（kπ/2,0）

四. 正弦型函数：形如y=Asin (ωx+γ)的函数称为正弦型函数。

性质： 1.定义域：R

2.值域：[-|A|,|A|]

3.奇偶性：不一定

4.单调性：在（, ）上单调递增；

在（, ）上单调递减。

5.周期： T= 6.对称轴：x= 7.对称中心：（,0）

五. 余弦型函数：形如y=Acos (ωx+γ)的函数称为余弦型函数。

性质： 1.定义域：R

2.值域：[-|A|,|A|]

3.奇偶性：不一定

4.单调性：在（, ）上单调递增；

在（, ）上单调递减。

5.周期： T= 6.对称轴：x= 7.对称中心：（,0）

六.正切型函数：形如y=Atan (ωx+γ)的函数称为正切型函数。

性质： 1.定义域：x= 2.值域：R

3.奇偶性：不一定

4.单调性：在（, ）上单调递增。

5.周期： T= 6.对称轴：无

7.对称中心：（,0）

 

第二篇：高一数学函数章节总结

单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数

目的：通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理解

过程：

一、复习：映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数

二、

        例一、已知函数  在区间[-1，2]上的最大值是4，求  a的值。

            解：抛物线对称轴为  ,   区间[-1，2]中点为

                   1° 当 2≥-a ,  即 a≤-2时，由题设：f (-1) = 4,   即 1 - 2a +1 = 4,  a = -1  （不合）

                   2° 当 ,  即 时，由题设：f (-1) = 4,   即  a = -1 

                 3° 当 ,  即时，由题设：f (2) = 4,   即 4 + 4a +1 = 4, 

                        

                   4° 当 -a<-1,  即 a>1时，由题设：f (2) = 4,   即 4 + 4a +1 = 4,    （不合）

注：若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分 -a 在  三个区间。但本题亦可将1°、2°和3°、4°分别合并成两个区间讨论。

        例二、已知函数 f (x),  当 x , yÎR时，恒有f (x + y) = f (x) + f (y) ,  

                    1° 求证： f (x) 是奇函数。

                    2° 若 f (-3) = a，试用 a 表示 f (24)  

                    3° 如果 x > 0 时，f (x) > 0 且 f (1) < 0，试求 f (x) 在区间[-2，6]上的

最大值与最小值。

            解：1° 令 x = y = 0  得 f (0) = 0，再令 y = - x  得  f (0) = f (x) + f (- x),          

∴f (x) = f (- x)    ∴f (x)为奇函数

                    2° 由 f (-3) = a  得 f (3) = - f(-3) = -a，

f (24) = f ( 3 + 3 + …… + 3) = 8 f (3) = - f (3)

                    3° 设  x ₁ < x₂ ，则 f (x₂) = f (x ₁ + x₂ - x ₁) = f (x ₁) + f (x₂ - x ₁) < f (x ₁)，

( ∵ x₂ - x ₁ > 0 ,  f ( x₂ - x ₁) < 0 )

                         ∴f (x) 在区间[-2，6]上是减函数。

                         ∴f (x)_max = f (-2) = -f (2) = -2f (1) = 1

                             f (x)_min  = f (6) = 6 f (1) = -3

        例三、 求函数  的值域和单调区间。

            解：  

∴函数的值域为

                    ∵设 ,  它在  上单调递减，

而二次函数 在  时是减函数，在 时是增函数令 ，则 x ≥ 1            令 ，则 x ≤ 1  

                   ∴函数  在 上是增函数，在上是减函数。

        例四、1、已知  是奇函数，求常数 m 的值。2、画出函数  的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程   无解？有一解？有两解？

          解：1．定义域：x ¹ 0， 若 f (x)为奇函数，则  

                        ∴

2．如图所示：

 当 k < 0时，直线 y = k与函数 图象无交点      ∴方程无解。

当 k = 0或 k ≥ 1时直线 y = k与函数 图象有一个交点 ∴方程有一解。 当 0 < k < 1时，直线 y = k与函数 图象有两个交点∴方程有两解。

      例五、  设 ，其中 a > 0，a ¹ 1，问：x为何值时有1° y₁ = y₂          2° y₁ < y₂

          解：1．由于指数函数是单调函数，∴                      2．当 0 < a < 1，由 y₁ < y₂ ，得 2x > x² -3 ，解得 -1 < x < 3

                         当  a > 1，由 y₁ < y₂ ，得 2x < x² -3 ，解得 x < -1 或 x > 3

   三、作业：