数学分析下定义定理整理

第一章 多元函数的极限与连续

第一节 平面点集与多元函数

1、坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，并记作

E={(x,y)|(x,y)满足条件P}.

2、内点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)ìE，则称点A是点E的内点.E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作int E.

3、外点——若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=?，则称A是点集E的外点.

4、界点——若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称A是集合E的界点.即对任何正数d，恒有

U(A;d)∩E≠?且U(A;d)∩Ec≠?，

其中Ec=R2\E是E关于全平面的余集.E的全体界点构成E的边界，记作?E. 注：E的内点必定属于E，E的外点必定不属于E，E的界点可能属于E，也可能属于E，也可能不属于E.

5、聚点——若在点A的任何空心邻域U0(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E.

6、孤立点——若点A∈E，但不是E的聚点，即存在某一正数d，使得U0(A;d)∩E=?，则称点A是E的孤立点.

注：孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.

7、开集——若平面点集所属的每一点都是E的内点(即int E=E)，则称E为开集.

8、闭集——若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.

注：只有R2与?是既开又闭的点集.

9、开域——若非空开集具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E为开域.

10、闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域.

11、区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域.

12、有界点集——对于平面点集E，若存在某一正数r，使得

EìU(O;r)，

其中O是坐标原点(也可以是其他固定点)，则称E是有界点集.否则就是无界点集.

13、定义1 设{Pn}ìR2为平面点列，P0∈R2为一固定点.若对任给的正数e，存在正整数N，使得当n>N时，有Pn∈U(P0;e)，则称点列{Pn}收敛于点P0，记作

nlimPn=P0 或 Pn?P0，n?￥.

14、定理16.1（柯西准则） 平面点列{Pn}收敛的充要条件是：任给正数e，存

在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有 r(Pn,Pn+p)<e.

15、定理16.2(闭域套定理) 设{Dn}是R2中的闭域列，它满足：

（i）DnéDn+1，n=1，2，…；

limdn=0， （ii）dn=d(Dn)，n

则存在惟一的点P0∈Dn，n=1，2，….

推论 对上述闭域套{Dn}，任给e>0，存在N∈N+，当n>N时，有DnìU(P0;e).

2216、定理16.3(聚点定理) 设EìR为有界无限点集，则E在R中至少有一个聚

点.

17、定理16.3’ 有界无限点列{Pn}ìR2必存在收敛子列{Pnk}.

18、定理16.4(有限覆盖定理) 设DìR2为一有界闭域，{Dα}为一开域族，它覆

盖了D（即Dìa

nα），则在{Dα}中必存在有限个开域D1，D2，…，Dn，它们

同样覆盖了D（即Dì

i=1Dα）. 19、定以2 设平面点集DìR2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射)，记作

F：D?R，

 

第二篇：数学分析知识点

第一章

1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；

2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；

3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功；

4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；

5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；

6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；

7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；

8）两个重要极限、两个基本极限 把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;

9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。例题：无穷大无穷小 有界变量无界变量；

10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点；

11）“见根号差，用有理化”！！！ 这是思维定势，很管用；

第二章

1） 导数的概念非常重要！！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，就是严格按照定义来演算推理；

2） 导数公式倒背如流的要求不算过分吧 呵呵；

3） 连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习；

4） 由于有些函数求导会出现x在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中某个因子在某点不可导，但乘积在该点也可能可导；

5） 中值定理的难点在于构造辅助函数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等

人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了（我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法，这两个掌握了就足够了）；

6） 函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作图的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍；

7） 三个式子的不等事，即A 8） 能用微分中值定理的，一般用积分中值定理也可以搞定，你也试试吧，体会一下数学思想和定理的联系，是有好处的；

9） 这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）；

第三章

1） 一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分；

2） 给你说几个准公式： ； ； ，作题时相当有用的哦，关键是反过来用你要有意识；

3） 这里特别提醒注意积分限函数，一句话：“积分限x在积分过程中是常量，在积分完毕后是变量”，这是核心的东西，抓住它就不会迷失方向；

4） 旋转体的体积看来是一定要考了，当然是重点，关键：一个是公式记清，应该是绕x轴还是y轴都要搞的清清楚楚，另一个就是体会移图和移轴的不同，这里要用到积分的计算，是体现基本功的地方；

5） 积分在经济中的应用也是重重之重，记清概念，把握公式，清醒审题，仔细答题，搞定；

6） 广义积分关键是计算，不是证明！！！记住重点；

7） 广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分，应将加减函数整体积分。积分上下限代入积分函数若无意义，则理解为取极限，你做做这个题就明白了：I= .