数学辅导-----《数列》(2)
【数列通项公式的求法】
一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
(特征:适应于已知数列类型(等差or等比)的题目.)
2例.等差数列?an?是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列,S5?a5.求数列?an?的通项
公式.
二、公式法:求数列?an?的通项an可用公式
(特征:已知数列的前n项和Sn与an的关系)
例.已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1.求数列?an?的通项公式。
三、由递推式求数列通项法
类型1 特征:递推公式为an?1?an?f(n)
对策:把原递推公式转化为an?1?an?f(n),利用 求解。 例1. 已知数列?an?满足a1?
11,an?1?an?2,求an。 2n?n
n?1n对策:把原递推公式转化为an?1?f(n),利用 求解。 an
2nan,求an。 ,an?1?3n?1例2. 已知数列?an?满足a1?
类型3 特征:递推公式为an?1?pan?q(其中p,q均为常数) 对策:(利用构造法消去q)把原递推公式转化为由an?1?pan?q得an?pan?1?q(n?2)两式相减并a?an整理得n?1?p,构成数列?an?1?an?以a2?a1为首项,以p为公比的等比数列.求出an?an?1
?an?1?an?的通项再转化为类型1(累加法)便可求出an.
例3. 已知数列?an?中,a1?1,an?1?2an?3,求an.
解:法一:
解:法二:
n?1n对策:(利用构造法消去p)两边同时除以pn?1可得到an?1anf(n)an,令???bn,则pn?1pnpn?1pnbn?1?bn?f(n)n,再转化为类型1(累加法),求出之后得ba?pbn nnn?1p
例4.数列{an}的前n项和Sn.已知首项a1=3,且Sn?1+Sn=2an?1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.
类型5 特征:递推公式为an?2?pan?1?qan(其中p,q均为常数)。
?s?t?p对策:先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 其中s,t满足?,再应用前面类型3st??q?
的方法求解。
例5. 已知数列?an?中,a1?1,a2?2,an?2?
21an?1?an,求an。 33
【巩固提高】 例8. 数列{an}满足a1=1,3an?1?an?7?0,求数列{an}的通项公式。
例9. 已知数列?an?满足a1?1,且an?1?3an?2,求an.
例10.已知数列?an?满足a1?1,an?3n?2an?1 (n?2),求an.
例11. 已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).
例12. 数列?an?满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an=0,求数列{an}的通项公式。
(I)证明:数列?an?1?an?是等比数列;(II)求数列?an?的通项公式;
求数列通项方法总结
一、课堂练习:
1.已知数列满足,,求;
2.已知数列满足,,求;
3.已知数列中,,,求;
构造新数列,则数列是首项为4,公比为2的等比数列
4.在数列中,求;
构造新数列,形式与3构造之前相同,则数列的等比数列
5.已知数列中,,,求;
两边同时除以,得,则数列是首项为的等比数列
6.已知数列满足求数列的通项公式;
原式变形为2为首项以2为公比的等比数列
7.已知数列{an}满足:,求数列的通项公式;
两边取倒数得1为首项,3为公比的等比数列
8.在数列中,,求通项公式;
二式可以写成,说明是等差数列
9.已知数列满足,则= ( )
A.0 B. C. D.
看到所求是具体的某一项的值,而又非等差等比数列,那么肯定具有周期关系,试前几项。
10.数列前n项和.(1)求与的关系;(2)求通项公式;
整理得:,转化为,则数列为等差数列
二、规律总结:
类型一:形如(其中是可以求和的数列的通项公式)
类型二:形如(其中是可以求积的数列的通项公式)
类型三:形如(其中为常数,且)
类型四:形如(其中为常数,且)
类型五:形如(其中为常数,且)
类型六:形如(其中为常数,且)
类型七:形如(其中为常数,且)
类型八:已知或与的关系式,求
类型九:其他类型
课后反思:从学生情况看,学生对具体的给出数据的题目还能够在老师的帮助下完成,但是规律总结完成起来有很大困难,最后我旨在课堂上勉强完成了前3种类型的规律总结,后面就放弃了。
其实前3种类型我在前面讲课时已经渗透了解题方法,本以为上课时让学生能够很快地完成,但有一部分学生用了5分钟也未能完成,主要原因是缺乏对第n项往前推导的想象力,不知如何运用得到的通项关系;另一方面,学生虽然有了关系式,又懒得往后多写几项已看出规律。由此看出对于大多数学生推导规律的能力是很有限的。
从第4题开始,学生倍感困难,完全不知如何处理。个别数学很好的学生(郭键、刘佳)在处理这道题时出现了如下错误,(模仿第3题的做法)
而且经过了相当长一段时间的自我纠错。
当总结第四题的规律时,刘傲给出了一个完美的规律表达:
,解决了上面所列的学生错误。
在后续测试中我发现学生像第8题、第10题这样两式相减的题目也不能很好地掌握,主要问题是减后的代数变形不会往有利于解题的方向上去写。看来还是没有弄明白为什么要做这样的变化,对我上课所谈到的“把一个变换后的数列整体看成一个新的等差、等比数列”并没有在学生脑海中形成共识,对这个整体的构造有困难。
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