北师大版七年级上册数学各章节知识点总结
第一章 丰富的图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体 (1)几何图形的组成
点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。 面:包围着体的是面,分为平面和曲面。 体:几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形 圆柱 柱
生活中的立体图形 球 棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、??
(按名称分) 锥 圆锥
棱锥
4、棱柱及其有关概念:
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
5、正方体的平面展开图:11种
6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。 7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图:从正面看到的图,叫做主视图。 左视图:从左面看到的图,叫做左视图
俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
8、多边形:由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形,叫做多边形。 从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个n边形分割成(n-2)个三角形。
弧:圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
第二章 有理数及其运算
1、有理数的分类 正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 或 整数 有理数
分数
2、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零
3、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想,并能灵活运用。
4、倒数:如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
5、绝对值:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
6、有理数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
7、有理数的运算 :
(1)五种运算:加、减、乘、除、乘方
(2)有理数的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。 (3)运算律
加法交换律 abba???
加法结合律 )()(cbacba????? 乘法交换律 baab? 乘法结合律 )()(bcacab? 乘法对加法的分配律 acabcba???)(
第三章 字母表示数
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、同类项 所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
3、合并同类项法则:把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
4、去括号法则
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。 (2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
5、整式的运算: 整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。
第四章 平面图形及其位置关系
1、线段:绷紧的琴弦,人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。
2、射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。
3、直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。
4、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 5、点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。 ②点在直线外,或者说直线不经过这个点。 6、直线的性质
(1)直线公理:经过两个点有且只有一条直线。 (2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。 (4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。 7、线段的性质
(1)线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短。
(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。 (3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 8、线段的中点:
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。 9、角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。
或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
10、平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角。终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角。
11、角的表示
角的表示方法有以下四种:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
12、角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。 1°=60’,1’=60”
13、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
14、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
15、平行线:
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
注意:
(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
16、平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 (3)平行线的定义。
17、垂直: 两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。 18、垂线的性质:
性质1:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
19、点到直线的距离:过A点作l的垂线,垂足为B点,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
20、同一平面内,两条直线的位置关系:相交或平行。
.第五章 一元一次方程
1、方程 含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。 (2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。 4、一元一次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
5、解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1
第六章 生活中的数据
1、科学记数法
一般地,一个大于10的数可以表示成n
a10?的形式,其中101??a,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。
2、扇形统计图及其画法:
扇形统计图:利用圆与扇形来表示总体与部分的关系,即圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图。
画法:
(1)计算不同部分占总体的百分比(在扇形中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比)。
(2)计算各个扇形的圆心角(顶点在圆心的角叫做圆心角)的度数。
(3)在圆中画出各个扇形,并标上百分比。
3、各种统计图的优缺点
条形统计图:能清楚地表示出每个项目的具体数目。 折线统计图:能清楚地反映事物的变化情况。
扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
第七章 可能性
1、确定事件和不确定事件
(1 )、确定事件
必然事件:生活中,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这些事情称为必然事件。
不可能事件:有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件。 (2)、不确定事件:
有些事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件
(3)、 必然事件 确定事件
事件 不可能事件 不确定事件
2、不确定事件发生的可能性
一般地,不确定事件发生的可能性是有大小的。 必然事件发生的可能性是1 不可能事件发生的可能性是0
五年级上册数学知识点
一、小数的乘法
(1)小数乘法计算法则:
①先按整数乘法算出积,再给积点上小数点。
②看因数中一共有几位小数,就从积的右边起(或个位)数出几位,点上小数点。
③当乘得的积的小数位数不够时,要在前面用0补足,再点小数点。
(2)一个数(0除外)乘大于1的数时,积比原来的数大。
一个数(0除外)乘小于1的数时,积比原来的数小。
一个因数扩大多少倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变。
一个因数不变,另一个因数扩大(缩小)多少倍,积也扩大(缩小)多少倍。
(3)四舍五入后的数字末尾的0不能去掉。
小数4.7 “四舍五入”前的最大两位小数是4.74,最小是4.65
(4)简便运算:运算定律 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
25×4=100,125×8=1000
(5)小数的四则运算顺序跟整数是一样的。
先乘除,后加减,有括号,先算括号里面的;连乘,连加按从左到右的顺序计算。
二、小数的除法
(1)小数除以整数的计算方法:
①按整数除法的方法去除。
②商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果整数部分不够除,商0,点上小数点。
③如果有余数,要添0再除。
(2)一个数除以小数的算理
一看---看除数中一共有几位小数。二移---把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数,使除数变成整数,当被除数的位数不足时,用“0”补足。三算---按照除数是整数的小数除法的方法计算。,
(3)被除数和除数同时扩大(缩小)相同的倍数,商不变。
被除数扩大(缩小)多少倍,除数不变,商扩大(缩小)多少倍。
被除数不变,除数扩大(缩小)多少倍,商缩小(扩大)多少倍。
(4)商的近似数
小数除法所得的商可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数,求商的近似数。
计算钱数,保留两位小数,表示计算到分;保留一位小数,表示计算到角。
(5)循环小数
一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。像5.3333…和7.14545…都是循环小数。
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。例如:5.3333…的循环节是3。
简便记法5.3333…可以记做--- 7.14545…可以记做---
小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。例如:0.9375是一个有限小数。小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。例如,0.2142854142857…就是一个无限小数.
循环小数一定是无限小数,无限小数不一定是循环小数。
(6)解决问题
在解决实际问题中,根据实际需要取商的近似数,用(去尾法,进一法)
例如:装水或装油等用进一法,做衣服,包装礼盒用去尾法。
7、求近似数的方法一般有三种:
⑴四舍五入法:求一个数的近似数,主要是看它省略的最高位上的数,是小于5,大于5还是等于5。如果省略的尾数最高位上的数是4或比4小,把尾数都舍去。如果省略的尾数最高位上的数是5或比5大,把尾数省略后向前一位进一。
⑵进一法:在实际问题中,有时把一个数的尾数省略后,不管位数最高位商的数是几,都要向它的前一位进1。如:把400千克粮食装进麻袋,如果每条麻袋只能装75千克,至少需要几条麻袋?因为400÷75=5.33……就是说,400千克粮食装5条麻袋还余25千克,这25千克还需要用一条麻袋来装,所以一共需要6条麻袋。即:400÷75=5.33……≈6(条)这种求近似数的方法,叫做进一法。
⑶去尾法:在实际问题中,有时把一个数的尾数省略后,不管位数最高位商的数是几,都不需要向它的前一位进1。如:把200张纸订成每本12张的本子,可以订成多少本?因为200÷16=16.66……,就是说,22张纸订成16本还余8章,根据题里的要求,12张纸才能订成一本,余下的8张纸不能订成有12张纸有本子,所以一共只能订成16本。即:200÷16=16.66……≈16(本)这种求近似数的方法,叫做去尾法。
三、简易方程
(1)用字母表示数,用字母表示运算定律,用字母表示公式
用字母表示运算定律,简明易记,便于应用。
在含有字母的是式子里,字母中间的乘号可以记作“·”,也可以省略不写。省略乘号时一般把数字写在前面例如:4×a=4a
公式: 长方形的面积s=ab 长方形的周长c=2(a+b)
正方形的面积s=a²(读作a的平方,a²=a×a) 正方形的周长c=4a
(2)用字母表示单位
长度单位 千米km 米m 分米dm 厘米cm 毫米mm
面积单位 平方千米km² 平方米m² 平方分米dm² 平方厘米 cm² 平方毫米mm²
质量单位 吨t 千克kg 克g
(3)解简易方程
含有未知数的等式叫做方程。 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。 例:x=6是方程4+x=10的解。
方程的基本性质:①方程两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
②方程两边同时乘或除以同一个数(0除外),方程左右两边仍然相等。
等式的性质:加数+加数=和;加数=和-另一个加数;
被减数-减数=差;被减数=差+减数;减数=被减数差;
因数×因数=积;一个因数=积÷另一个因数;
被除数÷除数=商;被除数=除数×商;除数=被除数÷商;
解方程 4x=3×9 3x-6=18 2(2.8+x)=10.4 19x-3x=32.16
解决问题:步骤:①分析,列数量关系;②设未知数;③列方程;④解方程;⑤答。
常用数量关系:华氏温度=摄氏温度×1.8+32 成年男子的标准体重=身高-105
路程=时间×速度 总价=单价×数量 工作总量=工作时间×工作效率
四、多边形的面积
①平行四边形的面积=底×高 字母公式: S=ah a=S÷h h=S÷a
②三角形的面积=底×高÷2 字母公式: S=ah÷2 a=2S÷h h=2S÷a
③梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 字母公式: S=(a+b)h÷2
h=2S÷(a+b) a=2S÷h-b b=2S÷h-a
④组合图形的面积
同底同高的三角形面积相等,但周长和形状不一定相同。
直角三角形的面积等于两条直角边长度乘积的一半. 同底同高的三角形面积是平行四边形面积的一半。 两条平行线间距离相等。 在两条平行线间可以画出无数个面积相等的三角形。
面积单位换算 1m²=100dm²=10000cm² 1公顷=10000m²
1km²=100公顷=1000000m² 1dm²=100cm²=10000mm² 1cm²=100mm²
把一个长方形框拉成平行四边形,周长不变,高变短了,面积变小了。
五、统计与可能性
中位数的求法:把一组数据按大小顺序(从大到小或者从小到大)排列,当数据个数是单数是最中间的数就是中位数;当数据个数是双数时最中间两个数的平均数(两数相加÷2)就是中位数;
中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响,有时(当一组数据中有偏大或者偏小的数时)用它代表全体数据的一般水平更合适。
密铺:圆形,正五边形不可以密铺;长方形,正方形,三角形,平行四边形,等腰梯形,正六边形可以密铺。 拼接点处各角度数和为360°
六、数学广角
1.数不仅可以用来表示数量和顺序,还可以用来编码。
用数字编码有着重大的意义:有序、好统计、不重复
2.拨打长途电话都要先拨区号:北京市010 天津市020 甘肃省 兰州市0931
3.车牌号码:甘A 53439 是甘肃省兰州市的车 (甘 表示车辆所在的省,自治区,直辖市 字母A表示车辆所在的城市)
4.邮政编码的含义:
前两位代表省(自治区、直辖市)
第三位代表邮区,
第四位代表所在邮区的县(市)
最后两位数代表投递区。如:73 0 2 07
第一章有理数一知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分有理数的概念可以利用数轴来认识理解同时利用数轴又可以…
七年级数学上学期知识归纳总结有理数正数和负数的概念负数比0小的数正数比0大的数0既不是正数也不是负数注意字母a可以表示任意数当a表…
人教版七年级上册数学课本知识点归纳第一章有理数一正负数1正数大于0的数2负数小于0的数30即不是正数也不是负数4正数大于0负数小于…
七年级数学第四章几何图形初步姓名学号班级主讲人郭涵雨七年级数学上册知识点第一章有理数11正数与负数正数大于0的数叫正数根据需要有时…
第一章:有理数知识框架:正整数0负整数正分数负分数基本概念:1.大于0的数叫做正数。2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。3.…
七年级数学(下)辅导资料(4)【知识要点】1.算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。2.如果x2=a,则x叫…
第一章有理数及其运算1.整数包含正整数和负整数,分数包含正分数和负分数。正整数和正分数通称为正数,负整数和负分数通称为负数。2.正…
第七章平面图形的认识(二)一、平行线1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条线(a,b)被第三条(c)直线所截,在截线的同旁,被截两…
超凡教育ChaoFanEducation中小学生课外个性化辅导中心北师大版七年级上数学知识要点概括第一章有理数及其运算1有理数包括…
七年级数学上册第一章有理数及其运算正整数如123整数零0负整数如123有理数11正分数如533823分数负分数如112348231…
四年级下学期数学知识点第一单元四则运算1.在没有括号的算式里,如果只有加、减法,那么从左往右按顺序计算。2.在没有括号的算式里,如…